Cortesia
de wikipedia
«O homem pôde compreender a
harmonia existente na natureza após séculos de observação e teorização. A
descoberta do número de ouro começou com Hípaso, membro da escola
pitagórica, que estudou sobre a incomensurabilidade no triângulo rectângulo
isósceles. Tomando como objecto de análise o pentágono regular, a questão da
incomensurabilidade foi esmiuçada uma vez mais. A investigação acerca da razão
áurea ganhou sua forma mais conhecida com a seqüência de Fibonacci. E
assim, descoberta e devidamente teorizada, foi usada pelo homem no intuito de
conferir às suas obras a beleza e perfeição que encontrava na natureza. Podemos
notar isso nas obras de mestres da arquitectura, como Phídeas e Le
Corbusier, e de mestres da pintura, como Leonardo da Vinci».
Beleza
e harmonia
«Através de seu alto poder de
observação, o homem indaga-se e procura explicações que justifiquem a
regularidade do meio em que vive. Partindo de tal prerrogativa, podemos
perceber que uma de suas muitas curiosidades diz respeito ao convívio com
beleza e harmonia, seja esta física ou do universo no qual está inserido. As
buscas incessantes do porquê do ser homem e da infinidade de elementos
existentes na natureza e de estes serem tão harmónicos, podem ser obtidos
através de ordem e relações entre números e combinações, na tentativa de
explicar a perfeição existente entre os mesmos. Neste contexto, o número de
ouro, indicado pela letra grega Φ em
homenagem ao escultor e arquitecto grego Phídeas (470 - 425 a.C.) através
da razão áurea, é factor determinante no que concerne esta questão. Portanto,
este artigo tem o intuito de apresentar informações úteis pertinentes ao
referido objecto de estudo, pois mostra o quanto arte, arquitectura e natureza
podem estar relacionadas ao número áureo
tornando agradável aos olhos de qualquer ser humano a harmonia e beleza das
formas que o rodeiam, não esquecendo, porém, de todo rigor matemático
utilizado. As palavras de Biembengut e Hein (2000) expressam bem o
exposto acima: É dito que onde houver harmonia lá encontraremos o número de
ouro. Este número Φ é
indicado como a máxima expressão do equilíbrio. Quando
procuramos atentamente, podemos encontrá-lo em toda a parte.
Hípaso
Metaponto e a descoberta da incomensurabilidade
É atribuída ao matemático grego Hipasus
Metapontum ou Hípaso Metaponto (470 - 400 a.C.) nascido na cidade
grega de Metaponto sul da Itália, a descoberta de grandezas incomensuráveis (não-racionais).
Teria sido Hípaso, o principal responsável por profundas mudanças no pensamento
filosófico da escola pitagórica em meados do século V a.C., de que tudo
no universo podia ser reduzido somente a números comensuráveis (racionais)
ou suas razões, pois o mesmo produziu um elemento não inteiro que negava os
ensinamentos adquiridos nos cultos secretos onde era discípulo do mestre Pitágoras
Samos (570 - 495 a.C.). Não se sabe ao certo como Hípaso Metaponto
observou os irracionais pela primeira vez, mas, é bastante provável que os primeiros
incomensuráveis conhecidos por ele, venham de demonstrações precisas sobre o
valor da diagonal de um quadrado de lado unitário ou, do valor da base de um
triângulo isósceles rectângulo de lado também unitário ou ainda, da razão entre
diagonal e lado de um pentágono regular. Veremos como tais demonstrações
ocorreram, supondo que a percepção dos não-racionais veio com a aplicação do
teorema de Pitágoras, já bastante conhecido entre os membros da escola
pitagórica àquela época, sendo somente válido ao quadrado e triângulo rectângulo
isósceles, o que não ocorre com o pentágono regular.
Incomensurabilidade
no triângulo isósceles rectângulo
Para que fosse provada a questão
da incomensurabilidade no triângulo isósceles rectângulo, Hípaso provou que não
há nenhum número comensurável ao qual corresponda um ponto C da recta, no caso em que o segmento AC seja igual à base (diagonal)
do referido triângulo com lados unitários. Observe:
Representação na recta numérica de um
triângulo rectângulo isósceles de lado unitário
Pelo teorema de Pitágoras com
catetos de medida unitária e hipotenusa d
(diagonal = base) do triângulo, temos:
Onde
admitimos somente o valor positivo de d, uma vez que se trata de medida de
comprimento.
A Questão da incomensurabilidade no pentágono regular
A estrela de cinco pontas
inscrita em um pentágono regular, a partir dos vértices deste, era considerada
o símbolo mais importante entre os membros da escola pitagórica. O numeral cinco
representava o casamento, pois nele estava representada a junção do número
feminino par (dois) com o número masculino ímpar (três), motivo pelo qual, para
muitos historiadores, teria levado Hípaso a verificar com toda cautela
as propriedades matemáticas existentes desse polígono. Admitindo-se que Pitágoras
e seus discípulos já soubessem fazer a divisão entre segmentos de rectas,
então, quando traçadas as cinco diagonais do primeiro pentágono regular, estas
formam um segundo pentágono regular, este sendo menor que o primeiro.
Repetindo-se o processo neste segundo pentágono, obteremos o mesmo resultado, e
assim por diante, infinitamente, o que nos deixa claro que a divisão (razão)
entre diagonal e lado em qualquer pentágono regular é um número não-comensurável.
Pentágonos regulares inscritos, obtidos a
partir do tracejar das suas diagonais não-consecutivas.
Em
mãos da propriedade de que as diagonais de um pentágono regular dividem umas às
outras em segmentos de média e extrema razão, Hípaso concluiu que o quociente
entre as medidas do segmento todo pela maior parte é igual ao quociente entre
as medidas dessa parte maior com a parte menor». In Joseane Vieira Ferrer, O Número de
Ouro na Arte Arquitectura e Natureza, Beleza e Harmonia, Universidade de
Brasília, Brasil, Wikipédia.
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da UBrasília/JDACT