Cortesia de genymatematica e theonipappas
Quadrados Mágicos, segunda parte.
Processos para Transformar um Quadrado Mágico dado noutro Quadrado Mágico
1) Se adicionarmos ou multiplicarmos qualquer dos números de um quadrado mágico por um número, o quadrado resultante será um quadrado mágico.
2) Se permutarmos duas linhas ou duas colunas equidistantes do centro, o quadrado resultante será um quadrado mágico.
3)
- a) Permutando os quadrantes de um quadrado mágico de ordem par o quadrado resultante será um quadrado mágico.
- b) Permutando quadrantes parciais e linhas de um quadrado mágico de ordem ímpar, o quadrado resultante será um quadrado mágico.
Já se escreveu mais sobre quadrados mágicos do que sobre qualquer outro tema de matemática recreativa. Benjamin Franklin gastou um tempo apreciável a conceber métodos para a construção de quadrados mágicos. É um desafio apaixonante utilizar os primeiros 25 números naturais e dispô-los num quadrado de 5x5, de forma que os números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal totalizem o mesmo valor. Este quadrado seria um quadrado mágico de «ordem 5». Qualquer quadrado mágico com um número ímpar de linhas e de colunas é de «ordem ímpar», ao passo que se tiver um número par, a sua «ordem será par». Ainda hoje se estudam processos para construir quadrados mágicos de ordem par com qualquer tamanho; em contrapartida, para os de ordem ímpar há um grande número de métodos gerais aplicáveis na construção de quadrados mágicos de qualquer tamanho.
O «método da escada», inventado por La Loubere, é muito conhecido por todos os entusiastas dos quadrados mágicos. Vamos construir um quadrado mágico de 3x3.
O Método da Escada
1) Comece por escrever o número 1 na casa central da linha de cima;
2) O número seguinte deverá ser colocado diagonalmente, numa casa contígua acima da anterior, a não ser que esta se encontre ocupada. Se a casa em questão pertencer a um quadrado imaginário exterior ao nosso quadrado mágico, dever-se-á procurar a sua localização no quadrado mágico, que é a casa correspondente à do quadrado imaginário;
3) Se, no quadrado mágico, a casa superior diagonalmente contígua estiaer ocupada, escreva o número na casa que fica imediatamente abaixo à do número oríginal, como acontece, por exemplo, com os números 4 e 7;
4) Repita as etapas (2) e (3) até obter a localizaçao dos restantes números do quadrado mágico.
Recorrendo ao método da escada, tente construir o quadrado mágico de 5x5 usando os primeiros 25 números naturais. Experimente ainda alguns dos métodos mencionados para alterar quadrados mágicos para se aperceber de como funcionam. Utilizando um dos quadrados que construiu, multiplique cada um dos seus
números por uma constante à sua escolha. Será que o quadrado resultante é tambem um quadrado mágico? Foram concebidos diversos métodos para construir um quadrado mágico de uma determinada ordem par. O «método da diagonal», por exemplo, aplica-se apenas ao quadrado mágico de 4x4.
Procedimento:
Comece por colocar os números sequencialmente em cada uma das linhas do quadrado mágico. Quando um número se situar numa das casas das diagonais, deverá ser substituído pelo seu número complementar.
Num quadrado mágico de 4x4, tanto as linhas como as colunas podem ser permutadas, mantendo o quadrado as suas propriedades». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.
Cortesia de Theoni Pappas/JDACT
