Um Mundo não Euclidiano
«O século XIX foi um período de ideias revolucionárias na política, na arte, na ciência e também na matemática, com o aparecimento das «geometrias não euclidianas». A sua descoberta marcou o início da matemática moderna, do mesmo modo que a pintura impressionista tinha assinalado o início da arte moderna.
Durante este período, a «geometria hiperbólica», uma das geometrias não euclidianas, foi descoberta independentemente pelo matemático russo Nicolai Lobachevsky (1793-1856) e pelo matemático húngaro Janos Bolyai (1802-1860).
Representação abstracta do modelo geométrico hiperbólico de Poincaré
Cortesia de theonipappas
Podemos verificar que a geometria hiperbólica, tal como as outras geometrias não euclidianas, descreve propriedades que nos são estranhas, uma vez que nos encontramos condicionados a pensar na geometria em termos euclidianos. Na geometria hiperbólica, por exemplo, o conceito de «linha» não está associado ao de recta e as «linhns paralelas» não permanecem equidistantes, embora não se intersectem por serem assimptóticas. Quando analisadas de modo mais profundo, as geometrias não euclidianas transmitem de facto a ideia de fornecerem uma imagem mais exacta dos fenómenos do nosso universo. Como consequência, já se descreveram «mundos diferentes» onde tais geometrias podiam existir.
Um desses mundos corresponde ao modelo criado pelo matemático francês Henri Poincaré (1854-1912). O seu universo imaginário é limitado por uma circunferência, ou por uma superficie esférica num modelo tridimensional, cuja temperatura no centro é zero absoluto, aumentando à medida que dele nos afastamos. Consideremos que os objectos e os habitantes desse universo não têm consciência das alteraçóes de temperatura, embora o tamanho detodas as coisas se altere de ponto para ponto. Na verdade, todos os objectos e seres vivos aumentam de tamanho à medida que se aproximam do centro, diminuindo proporcionalmente quando se dirigem para a zona fronteira.
Cortesia de theonipappas
Uma vez que «tudo» muda de tamanho, ninguém se aperceberá nem conseguirá detectar essas alterações de grandeza. Isto significa que a amplitude dos nossos passos vai diminuindo à medida que nos aproximamos da zona limite, o que fará parecer que continuamos tão longe dela quanto inicialmente nos encontrávamos.
Este fenómeno faz com que este mundo pareça infinitamente grande e, aqui, a distância mais curta entre dois pontos é uma linha curva, visto que, para nos deslocarmos de A para B, será necessário um menor número de passos (dado terem maior amplitude) do que se nos movermos em direcção ao centro, descrevendo uma trajectória em forma de arco.
Neste mundo, os lados de um triângulo seriam arcos, tal como acontece com o triângulo (ABC) apresentado na figura. Até as linhas paralelas teriam um aspecto diferente, a linha DCE é paralela à linha AB, visto nunca se intersectarem.
Na realidade, o modelo de Poincaré pode muito bem descrever o mundo em que vivemos. Olhando para o local em que estamos no universo, se fôssemos capazes de percorrer distâncias medidas em anos-luz, talvez viéssemos a descobrir alterações no nosso tamanho físico. Na verdade, na teoria da relatividade de Einstein, o comprimento de uma régua diminui à medida que a sua velocidade se aproxima da velocidade da luz!
Poincaré
Cortesia de metafisicadaqualidade
Poincaré foi um pensador original. A diversidade dos assuntos que leccionou enquanto professor na Sorbonne, em Paris (entre 1881 e 1912), ilustra bem aquela afirmação. O seu trabalho e as suas ideias cobrem temas táo diversificados como:
- a electricidade e a teoria potencial,
- a hidrodinâmica e a termodinâmica,
- o cálculo de probabilidades,
- a mecânica celeste,
- as séries divergentes e as expansões assimptóticas,
- os integrais invariantes,
- a estabilidade de órbitas,
- as formas dos corpos celestes...
Podemos seguramente afirmar que o seu trabalho estimulou o pensamento matemático do século XX». In Theoni Pappas, Fascínios da Matemática, The Joy of Mathematics, Editora Replicação 1998, ISBN 972-570-204-2.
Cortesia de Editora Replicação/JDACT
