Um Quadrado Mágico «especial»: Utilizando a sucessão de Fibonacci forma-se um novo quadrado. No entanto, não «goza» das mesmas propriedades dos quadrados mágicos

Cortesia de 15wordpress

Aproveitando o Encantamento:

Um Quadrado Mágico Especial

Na sucessão de Fibonacci, que é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., cada termo é igual à soma dos dois termos que o antecedem. Quando se faz corresponder os números de Fibonacci 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144 aos números naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, forma-se um novo quadrado.

Este não goza das mesmas propriedades dos quadrados mágicos, mas a soma dos produtos dos números de cada uma das 3 linhas:

•  (9078 + 9240 + 9360 = 27678)

é igual à soma dos produtos dos números de cada uma das 3 colunas:

•  (9256 + 9072 + 9350 = 27678).

JDACT

Fascínios da Matemática: Quadrados Mágicos. Segunda Parte. «O «método da escada», inventado por La Loubere, é muito conhecido por todos os entusiastas dos quadrados mágicos. Tente construir o quadrado mágico de 5x5 usando os primeiros 25 números naturais. Experimente ainda alguns dos métodos mencionados para alterar quadrados mágicos para se aperceber de como funcionam»

Cortesia de genymatematica e theonipappas

Quadrados Mágicos, segunda parte.

Processos para Transformar um Quadrado Mágico dado noutro Quadrado Mágico

1) Se adicionarmos ou multiplicarmos qualquer dos números de um quadrado mágico por um número, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

2) Se permutarmos duas linhas ou duas colunas equidistantes do centro, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

3)

• a) Permutando os quadrantes de um quadrado mágico de ordem par o quadrado resultante será um quadrado mágico.

• b) Permutando quadrantes parciais e linhas de um quadrado mágico de ordem ímpar, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

Já se escreveu mais sobre quadrados mágicos do que sobre qualquer outro tema de matemática recreativa. Benjamin Franklin gastou um tempo apreciável a conceber métodos para a construção de quadrados mágicos. É um desafio apaixonante utilizar os primeiros 25 números naturais e dispô-los num quadrado de 5x5, de forma que os números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal totalizem o mesmo valor. Este quadrado seria um quadrado mágico de «ordem 5». Qualquer quadrado mágico com um número ímpar de linhas e de colunas é de «ordem ímpar», ao passo que se tiver um número par, a sua «ordem será par». Ainda hoje se estudam processos para construir quadrados mágicos de ordem par com qualquer tamanho; em contrapartida, para os de ordem ímpar há um grande número de métodos gerais aplicáveis na construção de quadrados mágicos de qualquer tamanho.

O «método da escada», inventado por La Loubere, é muito conhecido por todos os entusiastas dos quadrados mágicos. Vamos construir um quadrado mágico de 3x3.

O Método da Escada

1) Comece por escrever o número 1 na casa central da linha de cima;

2) O número seguinte deverá ser colocado diagonalmente, numa casa contígua acima da anterior, a não ser que esta se encontre ocupada. Se a casa em questão pertencer a um quadrado imaginário exterior ao nosso quadrado mágico, dever-se-á procurar a sua localização no quadrado mágico, que é a casa correspondente à do quadrado imaginário;

3) Se, no quadrado mágico, a casa superior diagonalmente contígua estiaer ocupada, escreva o número na casa que fica imediatamente abaixo à do número oríginal, como acontece, por exemplo, com os números 4 e 7;

4) Repita as etapas (2) e (3) até obter a localizaçao dos restantes números do quadrado mágico.

Recorrendo ao método da escada, tente construir o quadrado mágico de 5x5 usando os primeiros 25 números naturais. Experimente ainda alguns dos métodos mencionados para alterar quadrados mágicos para se aperceber de como funcionam. Utilizando um dos quadrados que construiu, multiplique cada um dos seus

números por uma constante à sua escolha. Será que o quadrado resultante é tambem um quadrado mágico? Foram concebidos diversos métodos para construir um quadrado mágico de uma determinada ordem par. O «método da diagonal», por exemplo, aplica-se apenas ao quadrado mágico de 4x4.

Procedimento:

Comece por colocar os números sequencialmente em cada uma das linhas do quadrado mágico. Quando um número se situar numa das casas das diagonais, deverá ser substituído pelo seu número complementar.

Num quadrado mágico de 4x4, tanto as linhas como as colunas podem ser permutadas, mantendo o quadrado as suas propriedades». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Quadrados Mágicos. Primeira Parte. «Quaisquer dois números equidistantes do centro (numa linha, coluna ou diagonal), são complementares. Num quadrado mágico, dois números dizem-se complementares se a sua soma for igual à soma dos menor e maior números do quadrado»

Cortesia de zazzle  

Quadrados Mágicos

«Durante muitos séculos, muitas pessoas sentiram-se intrigadas pelos quadrados mágicos. Desde os tempos mais remotos, mantiveram sempre uma ligação com o sobrenatural e com o mundo da magia. Algumas escavações arqueológicas revelaram a sua existência em antigas cidades da Ásia, sendo o registo mais antigo

referente a 220 a.C. numa cidade da China. O quadrado mágico era designado «lo-shu» e a lenda conta que foi visto pela primeira vez pelo imperador Yu na carapaça de uma tartaruga sagrada nas margens do rio Amarelo.

Cortesia de theonipapas

Os nós pretos representam números pares e os nós brancos números ímpares.

Neste quadrado mágico, o número mágico, que é a soma dos números de

qualquer linha, coluna ou diagonal, é quinze.

No mundo ocidental, os quadrados mágicos foram pela primeira vez referidos em 130 d.C. na obra de Téon de Esmirna. Por volta do século IX, os quadrados mágicos foram introduzidos no mundo da astrologia e utilizados por árabes nos cálculos de horóscopos. Finalmente, com os trabalhos do matemático grego Moschopoulos, em 1300 a.C., os quadrados mágicos e as suas propriedades foram divulgados no hemisfério ocidental, especialmente durante o Renascimento.

Algumas Propriedades dos Quadrados Mágicos

A ordem de um quadrado mágico é definida pelo seu número de linhas ou colunas. Este quadrado mágico é de «ordem 3», por ter «3 linhas».

Cortesia de theonipappas

A magia de um quadrado mágico provém das suas propriedades fascinantes, entre as quais estão as seguintes:

1) A soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal tem o mesmo valor. Esta constante mágica pode ser obtida por um dos seguintes processos;

• a) A partir do número de ordem do quadrado mágico, n, determina-se o valor de 1/2 (n(n2+1)), sendo o quadrado mágico constituído pelos números l, 2, 3, …, n2.

• b) Considerando um quadrado mágico com um número de ordem qualquer, se dispusermos sequencialmente, linha a linha e a começar no canto superior esquerdo, os números que o compõem, a soma dos números de cada diagonal é igual à constante mágica.

2) Quaisquer dois números equidistantes do centro (numa linha, coluna ou diagonal), são complementares. Num quadrado mágico, dois números dizem-se complementares se a sua soma for igual à soma dos menor e maior números do quadrado.

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2. 

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT