Cortesia de cosmosmagazine
Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.
A Banda de Moebius e a Garrafa de Klein
A topologia deu origem a objectos fascinantes, um dos quais é a banda de Moebius, criada por Augustus Moebius (1790-1868), matemático alemão.
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A figura acima apresentada mostra uma tira de papel com as extremidades coladas, de modo a formar uma banda. Uma das faces do papel encontra-se no interior da banda e a outra no seu exterior. Se uma aranha se deslocasse ao longo da face exterior da banda, a única forma de atingir o lado de dentro seria atravessando a sua aresta.
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Esta outra figura representa a banda de Moebius, que pode ser construída torcendo a tira de papel antes de colar as suas extremidades. Neste caso, a tira de papel deixa de ter duas faces, passando a ter apenas uma. Se a mesma aranha se deslocasse ao longo da tira, seria capaz de percorrer toda a banda sem ter nunca de atravessar a sua aresta. Podemos constatá-lo desenhando uma linha ao longo da tira e verificando que percorremos a banda inteira sem ter tido necessidade de levantar o lápis.
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Uma outra propriedade interessante da banda de Moebius revela-se quando a cortamos ao longo da linha desenhada.
Experimente.
Experimente.
A banda de Moebius tem aplicações interessantes na indústria, tal como no caso das correias de ventoinha dos carros ou em correias, de outros dispositivos mecânicos, visto sofrerem um desgaste mais uniforme do que as correias convencionais.
A garrafa de Klein é um outro objecto tão intrigante como a banda de Moebius. Felix Klein um matemático alemão (1849-1925) concebeu um modelo topológico representado por uma garrafa especial que tem apenas uma superfície. A garrafa de Klein tem apenas uma parte exterior mas não tem interior, visto passar através de si própria. Se deitássemos água num orifício, ela voltaria a sair pelo mesmo sítio.
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Há uma relação interessante entre a banda de Moebius e a garrafa de Klein: se cortássemos a garrafa de Klein ao meio, obteríamos duas bandas de Moebius!
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Cortesia de Theoni Pappas/JDACT
