Fascínios da Matemática. Theoni Pappas. «Os padrões e as simetrias abundam em fenómenos naturais»

jdact

A Simetria dos Cristais

«Os padrões e as simetrias abundam em fenómenos naturais.

Em 1912, o físico Maz Von Laue fez passar raios-X num cristal esférico que depois impressionaram uma chapa fotográfica. Apareceram pontos escuros, dispostos num arranjo nitidamente simétrico, os quais depois de unidos formaram o desenho seguinte.»

  

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de TPappas/JDACT

JDACT, Theoni Pappas, Didácticas, Fascínios da Matemática, Conhecimento, 

Fascínios da Matemática. Theoni Pappas. «Um simples erro de raciocínio pode gerar resultados estranhos ou ridículos. Por exemplo, se o leitor for um programador informático, terá pavor de não ter atenção a uma linha…»

 jdact

A Demonstração de 1 = 2

«A arte de raciocinar toca vários aspectos das nossas vidas, seja para decidir o que vamos comer como usar um mapa, comprar um presente ou demonstrar um teorema da geometria. Toda uma gama de capacidades e de técnicas fazem parte da resolução de problemas.

Um simples erro de raciocínio pode gerar resultados estranhos ou ridículos. Por exemplo, se o leitor for um programador informático, terá pavor de não ter atenção a uma linha que possa levar a um ciclo que se repete infinitamente. Quantos de nós já descobrimos um erro, depois de estarmos certos da nossa explicação, solução ou demonstração? Em matemática, a divisão por zero é um erro comum que pode provocar resultados espantosos, como é ilustrado na demonstração de 1=2. Serâ que consegue descobrir onde está o erro?

1 = 2 ?

Se  a=b; e b,a>0 então 1 = 2

Demonstração:

1) a,b>0

Premissa

2) a=b

Premissa

3) ab=b2

Multiplicação de ambos os termos da equação por b

4) ab-a2=b2-a2

Subtracção de ambos os termos da equação a2

5) a(b-n)=(b+a)(b-a)

Factorização dos termos da equação

6) a=(b+a)

Divisão de ambos os termos por (b-a)

7) a=a+a

Substituição (passo 2)

8) n=2n

Adição de monómios

9) 1=2

Divisão de ambos os termos por a

Onde está o erro?

A divisão por zero está no passo 6. O zero está camuflado ao ser expresso por b – a, que é zero porque existe a premissa a = b».

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de TPappas/JDACT

JDACT, Theoni Pappas, Didácticas, Fascínios da Matemática, Conhecimento, 

Fascínios da Matemática. Theoni Pappas. «A ilustração que se segue foi desenhada em 1670 por um dos alunos de Seki Kowa, para determinar a medida da área do círculo…»

jdact

Isaac Newton e o Cálculo Infinitesimal

«Isaac Newton (1642-1727) foi um dos inventores do cálculo infinitesimal e da lei da gravitação. Apesar de Newton ser um génio matemático, dedicou grande parte da sua vida a estudos teológicos

Em 1665, a universidade onde leccionava em Cambridge, foi encerrada devido à peste bubónica. Newton permaneceu em casa durante esse interregno e desenvolveu a sua abordagem ao cálculo infinitesimal, formulou a lei da gravitação e trabalhou noutras questões da física. Infelizmente, foi preciso esperar 39 anos até à publicação do seu trabalho.

Este é um dos esquemas de Newton que mostram os efeitos da gravidade numa órbita elíptica» 

Cálculo Infinitesimal Japonês

«É importante lembrar que a matemática se desenvolveu simultaneamente em várias culturas pelo mundo inteiro. Por exemplo, Seki Kowa, um matemático japonês do século XVII, é considerado responsável pelo, desenvolvimento do cálculo infinitesimal no seu país, denominado então por yenri (o princípio do círculo). A ilustração que se segue foi desenhada em 1670 por um dos alunos de Seki Kowa, para determinar a medida da área do círculo a partir da soma das áreas de uma sequência de rectângulo». 

 

 In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de TPappas/JDACT

JDACT, Theoni Pappas, Didácticas, Fascínios da Matemática, Conhecimento,  

Fascínios da Matemática. A Calculadora de Pascal. «Conhecida como “a Pascalina”, permitia realizar somas e subtracções. Baseava-se em 2 conjuntos de discos. Um para introduzir os dados e o outro que armazenava os resultados, estando estes discos interligados por meio de engrenagens»

Cortesia de wikipedia

A Calculadora de Pascal

«Blaise Pascal (1623-1662) é conhecido como um dos mais famosos matemáticos e cientistas franceses. A ele se atribuem várias descobertas de teorias matemáticas e científicas, tais como a “teoria das probabilidades, teorias dos fluidos e das pressões hidrodinâmicas”. Além disso, aos 18 anos inventou uma máquina de calcular. Com essa máquina podem ser adicionadas longas séries de números com várias ordens. A invenção de Pascal ajudou a introduzir os princípios que estão na base das calculadoras modernas.

Conhecida como “a Pascalina”, permitia realizar somas e subtracções. Baseava-se em 2 conjuntos de discos: um para introduzir os dados e o outro que armazenava os resultados, estando estes discos interligados por meio de engrenagens.

A máquina contém como elemento essencial uma roda dentada construída com 10 ‘dentes’. Cada ‘dente’ corresponde a um algarismo, de 0 a 9. A primeira roda da direita corresponde às unidades, a imediatamente à sua esquerda corresponde às dezenas, a seguinte às centenas e assim sucessivamente.

Cada vez que numa das rodas o algarismo passa de nove a zero, a roda vizinha é arrastada e desloca-se um dente. 

 

Foi uma fonte de inspiração para Gottfried Leibniz na construção das suas famosas ‘Rodas de Leibniz’, para Thomas Colmar na construção do ‘Aritmómetro’ e para Dorr Felt na construção do ‘Comptómetro’».

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática. O Calendário Azteca. «Em 1790, foi descoberta a “pedra do sol azteca” ou calendário de pedra, por altura da realização de trabalhos de reparação numa catedral da Cidade do México. A catedral tinha sido construída num local onde existia um antigo templo piramidal “Tenochtitlán”»

Cortesia de wikipedia

O Calendário Azteca

«O “calendário” foi um dos mais remotos e importantes dispositivos de cálculo, um sistema para medir e registar o fluir do tempo.

Ao compreender que a natureza apresenta uma sequência regular de estações que controla as colheitas, os povos antigos tentaram estabelecer uma correlação entre o dia solar, o ano solar e o mês lunar.

Uma vez que o mês lunar é cerca de 29 dias e 12 horas e o ano solar é 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 46 segundos, não foi possível dividir o ano solar num número inteiro de meses lunares. Neste facto reside o maior problema em desenvolver calendários consistentes. Mesmo o calendário que usamos actualmente não é consistente, pois todos os anos múltiplos de 100 que não são divisíveis por 400 (por exemplo 1700,1800 ou 1900) têm de perder o seu dia adicional, apesar de serem anos bissextos.

Os aztecas tinham dois calendários, “o calendário religioso” era importante para fins cerimoniais e não tinha nenhuma relação com o mês lunar ou o ano solar. A data do nascimento fazia parte do nome dos aztecas.

Este calendário era formado por vinte signos e treze números, organizados num ciclo fixo de 260 dias. O segundo calendário era determinado pela agricultura e tinha 365 dias (Os aztecas foram buscar muitos elementos às civilizações Tolteca e Maia, nomeadamente várias partes do seu calendário). Os movimentos cíclicos dos corpos celestes possibilitaram aos aztecas o ajustamento do calendário, prevendo com rigor fenómenos como os eclipses.

Cortesia de wikipedia

Em 1790, foi descoberta a “pedra do sol azteca” ou calendário de pedra, por altura da realização de trabalhos de reparação numa catedral da Cidade do México. A catedral tinha sido construída num local onde existia um antigo templo piramidal “Tenochtitlán”. O disco circular tem cerca de 3,6 metros de diâmetro e pesa 26 toneladas. Nele está registada a história do mundo, segundo a cosmologia azteca.

Cortesia de wikipedia

Ao centro, está representado o “deus do sol, Tonatiuh. À sua volta aparecem os “quatro sóis”, ou “mundos cosmogónicos (Tigre, Água, Vento e Chuva de Fogo”), indicando as eras anteriores aos aztecas. É também aqui que estão representados os símbolos do desenvolvimento histórico. Outra coroa é formada por vinte figuras (crocodilo, vento, casa, lagarto, serpente, morte, veado, coelho, água, cão, macaco, erva, cana, jaguar, águia, abutre, terramoto, sílex, chuva e flor) e representa os vinte dias do mês azteca».

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

 Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática. Grafos. «Constituído por vértices e arcos. Diz-se que percorremos, ou traçamos, um “grafo” quando passamos uma única vez por todos os arcos. Qualquer vértice pode ser cruzado as vezes que quisermos»

jdact e cortesia de wikipedia

Grafos

«Basicamente, um “grafo” é um diagrama de um problema. O “grafo” para o problema das pontes de Kônigsberg está representado a seguir.

O grafo para o problema das pontes de Kônigsberg.

jdact

Um “grafo” é constituído por vértices e arcos. Diz-se que percorremos, ou traçamos, um “grafo” quando passamos uma única vez por todos os arcos. Qualquer vértice pode ser cruzado as vezes que quisermos.

Na figura anterior os vértices do problema das pontes de Kônigsberg estão designados por A, B, C, D. Repare no número de arcos que passam por cada vértice - A tem 3, B tem 5, C tem 3 e D tem 3. Uma vez que todos os números são ímpares, os vértices são vértices ímpares. Um vértice par terá um número par de arcos a atravessá-lo.

Cortesia de wikipedia

Euler descobriu várias propriedades relacionadas com o número de vértices pares e ímpares que um grafo pode ter para ser traçável. Especificamente, notou que se existe um vértice ímpar é necessário começar, ou acabar, o trajecto nesse vértice. Levando este facto em linha de conta, concluiu que um grafo traçável só podia ter dois vértices ímpares, já que tem apenas um ponto de partida e outro de chegada. Assim, já que no problema das pontes existem quatro vértices ímpares, o grafo não pode ser percorrido.

jdact

Quais destes “garfos” são traçáveis? Podem ser percorridos sem passar mais do que uma vez pelo mesmo arco.

jdact

Será possível desenhar um caminho que passe apenas uma vez por cada uma das portas, sem levantar o lápis? Tente demonstrar a sua solução desenhando um “garfo”».

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Os «ossos» de Napier. «Apesar de o estudo teórico das funções logarítmica e exponencial ser uma parte essencial da matemática, o aparecimento das modernas máquinas de calcular electrónicas e dos computadores tornou as tábuas logarítmicas e o seu uso tão obsoletas quanto a régua de cálculo o é hoje»

Os «ossos» de Napier.

«Trabalhar com números muito longos tornou-se cada vez mais entediante, sobretudo para os cientistas que lidam com cálculos de astronomia, para os marinheiros que têm de resolver problemas práticos

de navegação e para os comerciantes que necessitam de fazer a sua contabilidade.

Contudo, no século XVII, John Napier (1550-1617), um famoso matemático escocês, revolucionou a realização de cálculos com a sua descoberta dos logaritmos (um método que utiliza expoentes para a realização de multiplicações e divisões complicadas convertendo-as em adições e subtracções). Ver nota.

O método de cálculo de Napier, com o uso de logaritmos, e as tabelas que ele criou simplificaram enormemente todos os cálculos mais complicados que envolviam a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Apesar de o estudo teórico das funções logarítmica e exponencial ser uma parte essencial da matemática, o aparecimento das modernas máquinas de calcular electrónicas e dos computadores tornou as tábuas logarítmicas e o seu uso tão obsoletas quanto a régua de cálculo o é hoje. Mas a construção destas tabelas e de métodos abreviados de cálculo constituíram um instrumento fantástico, largamente utilizado durante séculos pelos matemáticos, contabilistas, navegadores, astrónomos e cientistas.

Cortesia de wikipedia

O uso dos logaritmos levou Napier a inventar réguas numeradas, conhecidas por «ossos de Napier», para auxiliar a contabilidade dos mercadores. Cada mercador tinha um conjunto de réguas, feitas de marfim ou de madeira, para realizar multiplicações e divisões e calcular raízes quadradas ou raízes cúbicas. Cada régua consistia numa tabela de multiplicação referente ao número representado no seu topo. Para multiplicar 298 por 7 justapunham-se as réguas do 2, do 9 e do 8 e liam-se os números indicados na sétima fila, que eram depois somados do modo que a figura ilustra.

Cortesia de wikipedia

NOTA:

Para realizar a operação 3600 / 0,072, por exemplo, convertiam-se os dois números à sua forma exponencial (isto é, logaítmica) por meio das tabelas de logaritmos. Para fazer a divisão dos números já escritos na forma exponencial e na mesma base, bastava então subtrair os seus expoentes. Assim, os dois números logarítmicos correspondentes a 3600 e a 0,072 eram subtraídos e o resultado era de novo convertido, recorrendo às tabelas de logaritmos, para um número na base dez.

JDACT