O Circo da Matemática. John A. Paulos. «Uma vez os algarismos árabes expressos em forma binária, usamos as mesmas regras aritméticas e algoritmos para trabalhar com eles, recordando apenas que estamos a trabalhar com potências de 2 e não com potências de 10»

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Números e Códigos Binários

«(…) Para ilustrar como é que um único número binário pode codificar uma grande quantidade de informação, considere que esta secção contém ligeiramente mais de 5600 símbolos, letras, algarismos, espaços em branco e sinais de pontuação. Cada um deles tem um código de 8 bits, e assim, se concatenarmos todos estes códigos, chegamos a uma sequência de cerca de 45 000 bits, que podemos considerar como a representação binária da secção. Poderíamos fazer a mesma coisa para o livro inteiro e calcular o código binário do livro. Ou ainda de forma mais ambiciosa, se dispusermos todos os livros na Biblioteca do Congresso por ordem alfabética e cronológica por autor e data de publicação e então concatenar as suas sequências, obtemos o número binário que representa toda a informação na Biblioteca do Congresso.

Exactamente que informação é (pelo menos uma sua definição técnica muito útil), é uma questão que é respondida pela teoria matemática da informação. Sendo um campo rico com muitas aplicações à biologia, à linguística e à electrónica, a teoria recorre à linguagem dos bits, em que cada bit de informação corresponde a uma escolha binária. [Desta forma, 5 bits, por exemplo, corresponde a 5 dessas escolhas, e são suficientes para-distinguir 32 (ou 2⁵) alternativas, havendo 32 (2⁵) sequências sim-não possíveis de comprimento 5] Os bits servem também como unidades na medição numérica de noções como a entropia de fontes de informação, a capacidade de canais de comunicação e a redundância de mensagens.

Desde a teoria da informação até aos pontos e traços do código Morse e às linhas grossas e finas dos códigos de barra dos supermercados, os números e códigos binários estão agora infiltrados por toda a parte e tornaram-se correntes. Penso, contudo, que são compreendidos melhor quando são abordados com, pelo menos, alguma da apreciação original de Leibniz pela sua primazia metafísica. Informação, computadores, entropia, complexidade, todos estes termos e ideias fundamentais provêm em parte deste código que é o mais elementar de todos, 1 ou 0, substância ou nada, yin ou yang, ser ou não ser. E fácil sermos levados por uma corrente de oposições sinónimas, de modo que irei deter-me e observar apenas que um universo que fosse todo substância seria indistinguível de um outro que fosse completamente vazio, e, assim, um certo grau de dicotomia binária é uma pré condição para um universo não trivial bem como para o próprio pensamento». In John A. Paulos, O Circo da Matemática, Para além do Inumerismo, Forum da Ciência, Publicações Europa América, 1991, ISBN 972-103-690-0.

Cortesia de PEAmérica/JDACT

O Circo da Matemática. John A. Paulos. «Dado que muitos (todos?) fenómenos podem ser reduzidos a sequências complexas de dicotomias de ligado-desligado, aberto-fechado, sim-não, e porque pelo menos os computadores funcionam desta maneira, os números e os códigos binários…»

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Números e Códigos Binários

«Os números binários são aqueles que consistem inteiramente em uns e zeros. Embora conhecidos pelos antigos matemáticos chineses, foram investigados seriamente pela primeira vez pelo matemático e filósofo alemão Gottfried Leibniz, motivado por considerações metafisicas de ser versus não-ser. Dado que muitos (todos?) fenómenos podem ser reduzidos a sequências complexas de dicotomias de ligado-desligado, aberto-fechado, sim-não, e porque pelo menos os computadores funcionam desta maneira, os números e os códigos binários desde então há muito que desceram do reino metafisico para o mundano. De qualquer modo, como é que ajustamos os nossos algarismos árabes nesta aparência mais austera de zeros e uns? Aqui, os exemplos servem melhor do que a explicação. O número 53 é expresso como 32 + 16+ 4 + 1, sendo cada um dos termos uma potência de 2 (considera-se que 1 é a potência zero de 2,2⁰). Definimos então 110101 como sendo a representação binária de 53, em que cada 1 ou 0 indica a presença ou a ausência de uma potência de 2. Isto é, 53 = (1 x2⁵) + (1 x 2⁴) + (0 x 2³) + (1x2²) + (0 x 2¹) + (1 x 2⁰). Tal como nos algarismos árabes, as posições dos dígitos determinam o seu valor.

Mais exemplos: o número 83 = 64 + 16 + 2 + 1, expresso em termos binários é 1010011, (1 x2⁶)+ (0 x 2⁵) + (1 x2⁴)+ (0 x 2³) +(0 x 2²) + (1x2¹) + (1 x 2⁰). De forma semelhante, 217 = 11011001. Os números de 1 a 16 expressos em forma binária são: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Movendo-nos na outra direcção, traduzimos 110100 como 52, 1111100 como 124 e 1000000000 como 512 (2⁹). Uma vez os algarismos árabes expressos em forma binária, usamos as mesmas regras aritméticas e algoritmos (v.g., e vai...) para trabalhar com eles, recordando apenas que estamos a trabalhar com potências de 2 e não com potências de 10.

Não se limitando apenas aos números, os códigos binários também podem ser utilizados de forma muito geral e de diferentes maneiras. Por exemplo, se atribuirmos valores lógicos a afirmações (1 para verdadeiro, 0 para falso), então operações básicas da lógica, negação de uma afirmação, ligar duas afirmações com e, ou, ou se... então..., etc., são realizáveis facilmente através de operações sintácticas simples ou, fisicamente, por intermédio de circuitos electrónicos simples. A uma afirmação precedida por um não, é atribuído o valor lógico 0 ou 1, dependendo de à afirmação original ter sido atribuído um 1 ou um 0. A afirmação formada pela junção de duas outras afirmações através de um e adquire o valor lógico 1 unicamente se ambas as afirmações que a compõem têm o valor lógico 1. [Estas operações lógicas são chamadas booleanas, em honra do matemático inglês do século XIX George Boole, que, segundo a hiperbólica (hiperboólica?) estimativa de Bertrand Russel, descobriu a matemática pura]

Codificar letras e outros símbolos como sequências de zeros e uns também não é problema, dado que a cada carácter é atribuída uma sequência diferente de dígitos binários, ou bits. De acordo com o padrão de convenções informáticas ASCII, cada símbolo tem um código de 8 bits (8 bits = 1 byte), e existem 256 (2⁸) códigos destes, um para cada uma das 52 letras, minúsculas e maiúsculas; para os algarismos de 0 a 9; e para símbolos de pontuação; aritméticos, de controlo e diversos. P tem o código 01010000; V, 01010110; b, 01100010; t, 01110100; “, 00100010; &, 00100110, e assim por diante. Estes códigos são utilizados para processamento de texto, aplicações em que os símbolos não são geralmente manipulados tal como o são em aritmética, mas apenas apresentados como texto». In John A. Paulos, O Circo da Matemática, Para além do Inumerismo, Forum da Ciência, Publicações Europa América, 1991, ISBN 972-103-690-0.

Cortesia de PEAmérica/JDACT