Cinco turcos em Paris. Nicolas Bourbaki. Armando Araújo. «… a Academia das Ciências e, sem se dar por isso, todo o ambiente intelectual francês. “Bourbaki” deixara de ser um revolucionário subversivo»

Cortesia de wikipedia

Nota: A quase totalidade deste texto foi extraído, com a devida vénia, da revista Ingenium, II Série, N.º 35, Março de 1999. Algumas frases estão ligeiramente alteradas, mantendo o mesmo sentido, outras são nossas, incluindo o título.

«(…) Mesmo longe da Matemática, o poder de Bourbaki fez-se sentir. Por exemplo, as escolas estruturalistas de Lacan e Lévi-Strauss reclamaram explicitamente ser herdeiras intelectuais das estruturas à Bourbaki. E a reforma do ensino matemático dos anos 60, em França, com a criação da famigerada Matemática Moderna, foi decisivamente influenciada pela atmosfera Bourbaki, apesar de encabeçada por um não-bourbakista, de nome Lichnerowicz. No final dos anos 60, Bourbaki tinha conquistado tudo e todos. Dominava as principais instituições universitárias, a Academia das Ciências e, sem se dar por isso, todo o ambiente intelectual francês. Bourbaki deixara de ser um revolucionário subversivo. Representava, agora, o sistema. Talvez não surpreenda que, em Maio de 68, uma das acções dos estudantes da ÉcoleNormale tenha sido fazer uma representação e distribuir panfletos a anunciar… a morte de Nicolas Bourbaki. Porém, um dos elementos, de nome Pierre Cartier, bourbakista de terceira geração, em 1998 anunciou a morte de Bourbaki. Mas tudo leva a crer que esse anúncio terá sido precipitado já que, em Julho desse mesmo ano, o grupo publicou o seu 41.º volume, depois de quinze anos em completo silêncio. Neste volume está o Capítulo X da Álgebra Comutativa. Testamento ou Recomeço? A explosão da matemática deve contribuir para a continuação deste grupo de génios anónimos, pois megalómanos existem aos milhões. Quero dizer, existe um Bush dentro de cada malandro. E se me dizem que Saddam é malandro, e é, então existe um Bush dentro dele.

Curiosidade. Marca de Água

Marcas de água ou filigranas são variações de espessura no papel, obtidas quando do fabrico deste, utilizando um molde especial que, em tempos idos, era feito de arame. Trata-se de desenhos ou filamentos transparentes que aparecem nalguns tipos de papel, tais como o Bond e o Vergê, desenhos esses que representam uma espécie de selo de garantia do fabricante. Tais filamentos fazem com que a massa fique menos espessa e permitem a formação desses desenhos. Estas marcas aparecem em papéis de qualidade para impressão cuidadosa. O exemplo mais evidente é o do chamado papel-à-mão. Que vem a ser este papel? Trata-se da designação dada ao papel fabricado com grande teor de celulose pura, por norma algodão ou linho (trapos). É um papel de altíssima qualidade. Usado, por isso, em moeda-nota, edições de luxo, documentos importantes, etc., dada a sua resistência ao desgaste. A moeda-nota, além de ser executada sobre este papel, é reproduzida graficamente com muito cuidado e preocupação, com especial realce para as filigranas (marcas d’água), feitas de figuras ou símbolos, com esbatido a imitar o claro-escuro, difícil de falsificar. Autênticas obras de arte, estas filigranas. Visto à transparência, dá-nos uma noção de claros-escuros, resultando num efeito de imagem (normalmente um símbolo ou logotipo identificativo da marca). Esta imagem é, portanto, observável à transparência. É obtida na mesma máquina que fabrica o papel, mediante um fio ou placa de cobre (filamento metálico adaptado a um cilindro da máquina de fabricação do papel). Antigamente, tais marcas eram usadas no papel de cristal, com que as floristas embrulhavam as flores, no papel de cigarros e outros. Cerca de 1250, na Itália, os papeleiros de Fabriano introduziram esta novidade em alguns papéis. Fazia-se um desenho com arame de boa qualidade, o qual se colocava sobre a rede que se encontrava no molde. Este desenho era visto na textura do papel. Os investigadores sobre os primeiros livros impressos tinham em linha de conta a posição da marca de água, uma vez que este pormenor indica a forma como se dobrava a folha impressa, por um lado, e por outro, dá indicações, em certos casos, sobre a parte da folha a que pertence um determinado fragmento de página. As filigranas ou marcas de água (marcas d’água) são de uso antiquíssimo. Desenhos de animais e plantas, obtidos com fios que se dispunham sobre a rede da forma, também designada chapa, foram das primeiras marca d’água que se fizeram. Quando se olha a marca d’água contra a luz, vêem-se pontos mais transparentes do que outros. Este fenómeno resulta do facto de, sobre os fios, se colocar a pasta, fazendo com que a espessura seja menor». In Armando Araújo, Cinco Turcos em Paris, Nicolas Bourbaki, Matemática Lúdica.

A amizade de Armando Araújo

Cortesia de AA/JDACT

Cinco turcos em Paris. Nicolas Bourbaki. Armando Araújo. «Após a guerra, o grupo renasceu. Em face da reforma obrigatória aos 50 anos, Bourbaki era forçado a renovar-se. Instituiu-se, assim, nos congressos a presença das ‘cobaias’, jovens prometedores convidados a assistir a um congresso»

Cortesia de wikipedia

Nota: A quase totalidade deste texto foi extraído, com a devida vénia, da revista Ingenium, II Série, N.º 35, Março de 1999. Algumas frases estão ligeiramente alteradas, mantendo o mesmo sentido, outras são nossas, incluindo o título. 

«(…) O nome Bourbaki é de origem grega. Na cidade de Nancy, onde alguns dos membros Bourbaky nasceram, há uma estátua do hilariante general Charles Sauter Bourbaki a quem, em 1862, foi oferecido o trono da Grécia, que este rejeitou. Aliás, este general participou na guerra franco-prussiana, com notariedade. 

Histórias do Arco da Velha

Visto de fora, um congresso Bourbaki parecia um bando de loucos. Nos ano 30, a dona da pensão onde o grupo se encontrava, para mais um congresso, chamou a polícia às duas manhã, já que lhe parecia um grupo de maníacos fugidos de um manicómio que existia próximo. A II Guerra Mundial interrompeu quase totalmente o projecto Well, um dos elementos do grupo, foi apanhado pela guerra, na Finlândia, e acusado de ser espião russo. Tinha na mala maços de cartões-de-visita de um desconhecido N. Bourbaki, membro de uma suspeitíssima Academia da Poldávia, e até os convites para o casamento de Betti Bourbaki. Impossível convencer as autoridades de que se tratava de uma brincadeira inocente. Well foi condenado à morte e salvo por horas, pelo matemático R. Nevarilirma. Em França, Laurent Schwartz, o criador das distribuições e medalha Fields em 1950, teve de passar à clandestinidade e mudar o seu nome judeu para o aristocrático Sélimartin, falsificando a assinatura e escapando às deportações. Até Freymann, o editor de Bourbaki, teve problemas. Numa rusga, as autoridades nazis encontraram a lista de nomes que compunham Bourbaki, convencendo-se de que se tratava de um núcleo da Resistência. 

Finalmente o reconhecimento

Após a guerra, o grupo renasceu. Em face da reforma obrigatória aos 50 anos, Bourbaki era forçado a renovar-se. Instituiu-se, assim, nos congressos a presença das cobaias, jovens prometedores convidados a assistir a um congresso. Sem o saberem, eram atentamente observados quanto ao cumprimento dos rituais bourbakistas. Caso fossem aprovados, passariam a integrar o grupo. Foi assim recrutada a segunda geração, com nomes ilustres como Samuel, Serre (futuro medalha Fields), Diximer, Godement e Filenberg. E a terceira, com Cartier, Grothendleck, Borel, Bruhat, Lang. Os anos 50 e 60 são a época de ouro de Bourbaki. Os Élements de Mathématique cresciam e cristalizavam. Em 1965, como está dito atrás, foi editado o trigésimo primeiro volume. A influência de Bourbaki em todo o mundo matemático era cada vez maior. Bourbaki era o ideal, o padrão. O seu método de despir um problema de tudo quanto é acessório, conservando apenas a estrutura matemática necessária para a construção da teoria, tornou-se o paradigma de investigação em Matemática. Bourbaki criou a noção de estrutura matemática. Até em termos de nomenclatura Bourbaki tomou de assalto o poder intelectual. Termos hoje vulgares na escola, como injectivo, sobrejectivo, bola ou o símbolo ø para o conjunto vazio, são criações de Bourbaki». In Armando Araújo, Cinco Turcos em Paris, Nicolas Bourbaki, Matemática Lúdica.

A amizade de Armando Araújo 
Cortesia de AA/JDACT

Cinco turcos em Paris. Nicolas Bourbaki. Armando Araújo. «O estilo a adoptar seria rigoroso, impessoal e assumidamente dogmático. Nada de vaidades pessoais. Definição, teorema, demonstração e basta. Ignoravam-se motivações, exemplos, referências históricas e aplicações»

Cortesia de wikipedia

«Na primeira metade do século XX, alguns matemáticos, com especial realce para o grupo Bourbaki , apresentaram diversas formulações do conceito de função, muito próximas da maneira como ele é estudado actualmente no secundário e na universidade». In Armando Araújo 

Nota: A quase totalidade deste texto foi extraído, com a devida vénia, da revista Ingenium, II Série, N.º 35, Março de 1999. Algumas frases estão ligeiramente alteradas, mantendo o mesmo sentido, outras são nossas, incluindo o título. 

O senhor Bourbaki

«Quem foi Bourbaki? Por estranho que pareça, o senhor Bourbaki nunca existiu. Nem senhor nem senhora. Trata-se de uma organização secreta e iniciática, do inventor da noção de estrutura matemática, de um dos maiores movimentos abstraccionistas do século XX, de uma pequena, mas influente comunidade de matemáticos. Tudo começou no início do século XX. Por essa altura, a escola alemã, liderada por Hilbert, insiste na abordagem axiomática formal e rigorosa. Naturalmente, começa a florescer mas, porque em 1914 rebenta a I Guerra Mundial, esse estilo-moderno não tem oportunidade de vingar noutros países e os alemães poupam a sua elite científica aos horrores da guerra, ao contrário dos franceses que, em nome das ideias da igualdade e da fraternidade, enviam toda uma geração de jovens cientistas para as trincheiras. Resultado: perdeu-se uma geração, colocando a França, em 1930, com um atraso de pelo menos 30 anos em relação à Alemanha. É nesta altura que intervém uma geração de jovens turcos (matemáticos) saídos no pós-guerra da École Normale. Eram eles: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte e Jean Dieudonné. Estes cinco jovens, ao iniciarem as suas carreiras académicas, constataram o enorme atraso da matemática francesa. Cartan e Weil, discutem o problema, tendo este último proposto que se encontrassem regularmente, para tentar redigir um texto actual. Esta ideia contagiou os outros membros e, em 1935, aconteceu o primeiro encontro, que durou uma semana. O grupo adoptou o pseudónimo colectivo de Nicolas Bourbaki e, em vez de redigir um tratado de análise, resolveu refutar toda a matemática e reconstruí-la, a partir do nada. Foi, desta forma, criada a Associação dos Colaboradores de Nicolas Bourbaki, em 1935. Foram seus fundadores Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Char les Ehresmann , René de Possel, SzolemMandelbrojt e AndréWeil. 

Gritar à vontade

O estilo a adoptar seria rigoroso, impessoal e assumidamente dogmático. Nada de vaidades pessoais. Definição, teorema, demonstração e basta. Ignoravam-se motivações, exemplos, referências históricas e aplicações. O edifício ficará totalmente estanque. Em cada livro Bourbaki só serão permitidas referências a resultados demonstrados nos volumes anteriores. Este tratado, destinado a unificar para sempre toda a Matemática, terá o nome de Élements de Mathématique. Trata-se de um plano para os primeiros volumes desta enciclopédia que, fatalmente, terá de iniciar-se com o fundamento mais básico: A Teoria dos Conjuntos.

Os congressos do grupo Bourbaki terão lugar três vezes por ano, sempre no campo, já que o bucolismo é convidativo à meditação. Não haverá referências pessoais. O único nome a figurar nas obras será o de Bourbaki e qualquer texto com este nome só pode ser publicado por unanimidade. Qualquer membro tem direito de veto, é obrigado a manter o segredo da sua pertença ao grupo e retirar-se do mesmo aos cinquenta anos de idade. Nos congressos, todos os membros podem e devem interromper-se, gritando à vontade. A matemática será discutida aos gritos, numa anarquia total. A qualquer momento, um membro pode ficar encarregado de redigir um capítulo que, no dia seguinte, pode ser rasgado pelos outros membros os quais, por sua vez, encarregarão um segundo membro de escrever uma outra versão. E assim sucessivamente.

Por incrível que pareça, Bourbaki publicou vários volumes. A Teoria dos Conjuntos viu a luz do dia em 1939 e, desde então (até 1998), Bourbaki publicou 41 volumes. Este volume sobre a Teoria dos Conjuntos consta da parte I, que se designa As Estruturas Fundamentais da Análise, da qual constam os seguintes assuntos: Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Topologia Geral, Funções de Variável Real, Espaços Vectoriais Topológicos e Integração. Só para se chegar aos números reais, com todas as demonstrações necessárias, foram precisas mais de 3000 páginas. A título de curiosidade informa-se que, em 1965, foi editado o seu trigésimo primeiro volume. 

Provável origem do nome

Bourbaki tem uma tradição de paródia surreal, começando pelo próprio nome. Napoleão teve um general de nome Bourbaki, nome esse que foi aproveitado numa aula de praxe, na École Normale, tendo os alunos inventado uma carreira fictícia para Bourbaki. Primeiro, foi Membro da Academia das Ciências da Poldávia e, mais tarde, professor na Universidade de Nancago (Nancy) e Chicago, universidade na qual Dieudonné, o principal redactor de Bourbaki, leccionava. As próprias actas dos congressos, que eram registadas no pasquim La Tribu, são de uma alegria hilariante. Nas milhares e milhares de páginas publicadas, este espírito permanece. Algures, na obra de Bourbaki, há uma gralha propositada, que transforma um objecto filtrante à esquerda e à direita, num debochado flirtante à esquerda e à direita». In Armando Araújo, Cinco Turcos em Paris, Nicolas Bourbaki, Matemática Lúdica. 

A amizade de Armando Araújo 

Cortesia de AA/JDACT

A Cor nas Artes Gráficas. Armando Araújo. «… foi ele, no entanto, quem chegou à conclusão, cerca de 1666, de que se se fizer passar a luz do Sol através de um prisma de cristal, esta, apesar de à nossa vista quase não ter cor, decompõe-se…»

Espectro Electromagnético

Cortesia de aa

A existência da luz, como é do conhecimento geral, toda a gente a sente. Mas do senti-la ao compreendê-la, em todos os seus aspectos, vai uma grande diferença. Os antigos esforçaram-se por entendê-la, mas em vão. Pitágoras, por exemplo, acreditava que o olho tinha uma espécie de tentáculos que iluminavam os objectos. Demócrito achava que as imagens produzidas na retina eram emitidas pelo próprio objecto, isto é, por algo que ele continha em si. Platão imaginava a luz como o resultado da colisão entre os tentáculos projectados pelo olho e as emissões do objecto. Nitidamente a combinação das duas teorias. Sabemos hoje, graças a Newton, que a luz é composta por uma mistura de radiações de diferentes longitudes de onda. Sabemos, também, que a mistura uniforme e simultânea de todas estas ondas produz, em nós, a percepção do branco. Tal fenómeno faz com que concluamos que a luz colorida é uma das partes da luz branca. Como já é do nosso conhecimento, a luz provém de uma fonte luminosa, que pode ser natural (luz do sol) ou artificial. Cada fonte, também conhecida por centro luminoso, emana ondas (vibrações) que, ao impressionarem a vista, provocam nela a sensação de luz. Tais ondas, por terem longitudes ou frequências diferentes dão, como resultado, cores diferentes.

Deduz-se, daqui, que a luz à qual chamamos branca, é o resultado da combinação de muitos raios coloridos, dos quais somente uma pequena parte é perceptível à vista humana. Portanto, um raio de luz branca, seja do sol ou de qualquer outra fonte luminosa, ao atravessar um prisma de cristal, decompõe-se nas cores que constituem o espectro solar (espectro electromagnético), as quais são perceptíveis pela vista humana: vermelho, laranja, amarelo, verde, cião, anil e violeta. Estas são as cores conhecidas como as cores do arco-íris. Como se sabe, a luz não depende do olho. Mas, para se concluir que assim é, foram precisos séculos, aliás, milénios, pelo menos dois, durante os quais muito se especulou. Que a luz tem uma velocidade possível de ser determinada, sabe-se hoje, e Galileu foi o primeiro a afirmá-lo. No entanto, só no século XIX pôde ser medida, desenvolvendo-se estudos a respeito da sua constituição, no século XX. Newton estudou várias propriedades, entre elas a reflexão e a refracção. Mas a sua constituição física não a chegou a conhecer. Foi ele, no entanto, quem chegou à conclusão, cerca de 1666, de que se se fizer passar a luz do Sol através de um prisma de cristal, esta, apesar de à nossa vista quase não ter cor, decompõe-se (espectro prismal), mostrando as cores que é vulgar serem vistas no arco-íris (espectro solar, à decomposição da luz do Sol, no arco-íris. Chama-se espectro prismal à experiência física, mediante a qual a luz do sol se decompõe, quando se faz passá-la através de um prisma de cristal). Esta experiência prova que a luz se compõe de várias cores, de cujo conjunto resulta a luz branca. O branco, nas artes gráficas, pode ser qualquer cor, já que corresponde à área não impressa.

Exemplo do disco de Newton. À esquerda, o disco com as cores do arco-íris. À direita, o disco com a recomposição da luz branca, após girar o disco a uma determinada velocidade

Mas é possível, também, recompor a luz branca. E Newton provou-o com a mistura das luzes do arco-íris, ou seja, através da soma das cores. Para isso, construiu um aparelho designando de disco de Newton. Que fez ele? Experimentemos pintar um disco com cores iguais às do arco-íris. Façamos girar rapidamente o disco. Que observamos? Ficamos com a impressão de estarmos em presença da cor branca. À medida que aumentamos a velocidade do disco, as cores são somadas e o seu matiz geral é acinzentado, até que só se observa, finalmente, um círculo uniforme e esbranquiçado. Este fenómeno prova-nos que a cor branca é composta por luzes coloridas, unidas entre si nas proporções correctas (quando um corpo fica iluminado pela luz, aquele produz o efeito da decomposição desta, absorvendo uma parte dos raios luminosos e reflectindo outra. A parte reflectida, isto é, aquela que não é absorvida, torna-se visível aos nossos olhos, dando-nos a cor do objecto). Se o objecto reflectir todos os raios luminosos (cores), isto é, não absorver nenhum raio luminoso, aparece-nos o branco; ao contrário, se não reflectir nenhum raio luminoso, quer dizer, se absorver todos os raios luminosos, aparece-nos o preto. Esta experiência pode ser feita apenas com a projecção de três luzes coloridas que são, como já sabemos, a vermelha, a verde e a violeta». In Armando Araújo, A Cor nas Artes Gráficas.

A amizade de Armando Araújo.

Cortesia de AA/JDACT

Matemática Lúdica. Notas históricas… Armando Araújo. «… a prática aritmética é ‘coisa mui necessária nestes reinos e senhorios de Portugal por bem de em eles florescerem os tratos das mercadorias da Índia e Pérsia e Arábia e Etiópia e outras partes mais chegadas a nós’»

Cortesia de wikipedia

‘A Matemática surgiu com o despertar da alma humana, mas não surgiu com fins utilitários. Foi a ânsia de resolver o mistério do Universo que lhe deu o primeiro impulso.O seu verdadeiro desenvolvimento resultou, em primeiro lugar, do esforço em penetrar e compreender o infinito. O progresso material dos homens depende das pesquisas abstractas ou científicas do presente, e será aos homens da ciência, que trabalham para fins puramente científicos sem nenhum intuito de aplicação das suas doutrinas, que a humanidade ficará devedora em tempos futuros. Quando o matemático efectua os seus cálculos, ou procura novas relações entre os números, não busca a verdade para fins utilitários. Cultivar a ciência pela utilidade prática, imediata, é desvirtuar a alma da própria ciência!’ In Malba Tahan.

Nota histórica 1

Carl Friedrich Gaus s (1777-1855) afirmou que ‘a Matemática é a rainha das ciências e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática’. Três séculos antes de Carl Friedrich Gauss ter proferido tal afirmação, GasparNicolas, aritmético português, afirmou, no “Tratado da Pratica Darismetyca”, com base no pensamento de um aritmético italiano, que a aritmética é o fundamento de todas as outras ciências que ‘a aritmética é a senhora das outras ciências porque abre as portas do entendimento e imprime um desejo de natural especulação’.

Este tratado foi o primeiro livro de matemática impresso em Portugal e acabou de se imprimir em 15 de Novembro de 1519. Gaspar dedicou-o a Rodrigo, conde de Tentúgal, com uma dedicatória, cujo início é uma citação de Aristóteles (384 -322 a.C.), extraída da obra ‘A Metafísica, Livro A, 1’, que diz o seguinte:

• ‘Todos os homens desejam naturalmente saber’;
• Gaspar Nicolas era de opinião de que a aritmética é ‘nível e regra de todas as outras artes’ e a prática aritmética é ‘coisa mui necessária nestes reinos e senhorios de Portugal por bem de em eles florescerem os tratos das mercadorias da Índia e Pérsia e Arábia e Etiópia e outras partes mais chegadas a nós’.

Por isso se decidiu ‘a fazer e compor este breve tratado de Arismetyca por estilo mui claro para que facilmente possa aproveitar e aproveite aos que o virem e lerem’. Nele, Nicolas ensina as regras de somar, subtrair, multiplicar e dividir números inteiros e fraccionários e também ensina a extrair raízes quadradas de números inteiros e a somar certas progressões. Refere-se, com ligeireza, a raízes cúbicas. Aplica a regra de três simples na resolução de diversos problemas. E trata de muitos outros assuntos. Segundo o grande matemático Gomes Teixeira (1851 -193 3), na sua ‘História das Matemáticas em Portugal’, o Tratado de Gaspar Nicolas foi reeditado em 1530, 1541, 1573, 1594, 1613 e 1679.

Há quem diga que Nicolas aproveitou alguns problemas incluídos por frei Lucas Pacioli em algumas das suas obras. E frei Paciolinão aproveitou, também, problemas de obras de autores anteriores? Leonardo Bigollo Pisano ou Leonardo Fibonacci (Fibonacci significa filho de Bonácio) escreveu, em 1225, “LiberQuadratorum”, “O Livro dos Quadrados”, ao qual frei Lucas Pacioli foi buscar muitos problemas. Leonardo Fibonacci escreveu várias obras, mas a mais importante terá sido “Liber Abaci”, “O Livro de Ábaco”. Este livro, escrito em 1202 e reescrito em 1228, deu um grande contributo para a generalização e uso da numeração árabe, na realidade, numeração indiana na Europa. Contém diversos problemas, alguns dos quais fruto de uma adaptação de problemas incluídos no papiro conhecido como ‘Papiro de ahmés’ ou ‘Papiro de Rhind’, que se encontra no Museu Britânico, escrito pelo escriba egípcio Ahmés, nascido a 1550 a.C.

Mestre Benedetto da Firenza escreveu uma aritmética com o título ‘Inchomincia et trattato darismetricha cerca de 1460, na qual descreve a relação entre a aritmética e as necessidades mercantis da cidade onde nasceu, mas tal obra nunca foi impressa. Em muitos países da Europa, nos séculos XV e XVI, o interesse pela educação aumentou com o Renascimento, com a intensificação das actividades comerciais e com os descobrimentos. Por isso, tornou-se imprescindível o aparecimento de livros de aritmética, para facilitar as operações comerciais.

O livro mais antigo de aritmética, de que há conhecimento, chamava-se “Aritmética de Treviso”, e foi publicado na cidade de Treviso, norte de Itália, no ano de 1478. Para além das tendências predominantemente comerciais, continha alguns problemas de carácter recreativo. Desconhece-se o autor. Treviso era uma cidade comercial importante, que ficava a um dia de viagem de Veneza. Foram instaladas, naquela cidade, três tipografias, à época designadas de imprensas. Uma delas, pertença de Manzolo ou Manzolino, imprimiu essa aritmética. Piero Borghi escreveu outra aritmética comercial, a qual foi publicada no ano de 1484, em Veneza.

Há autores que consideram esta obra como a aritmética comercial italiana mais notável daquele século. Foram publicadas 17 edições, tendo sido a última em 1557. No ano de 1491 Filippo Calandri fez aparecer, em Florença, uma aritmética, a qual continha o primeiro exemplo impresso sobre o algoritmo da divisão.

Na Alemanha publicaram-se algumas aritméticas, cujos autores foram, em 1489, Johann Widman, em 1514, Jacob Köbel e em 1522, Adam Riese. No ano de 1522 foi publicado, na Inglaterra, o primerio livro dedicado exclusivamente à matemática. Trata-se de uma aritmética em latim, de autoria de Cuthbert Tonstall (1474-1559). Robert Recorde (1510-1558) escreveu pelo menos cinquenta livros, em inglês. O primeiro, pomposamente intitulado ‘The Ground of Arts’, era uma aritmética, cuja publicação foi por volta de 1542, a qual teve, no mínimo, 29 edições. Todas as publicações deste autor foram baseadas na obra de Pacioli ‘Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita’».

In Armando Araújo, Matemática Lúdica, A Cultura é a única bagagem que não ocupa espaço, mas nem todos a podem transportar, AMBA, 2003.

continua

Com a amizade do Armando

JDACT

Matemática Lúdica. História Curiosa, mas Verídica... Armando Araújo. «… o árbitro decidiu que a resposta estava correcta, mas que não demonstrava qualquer conhecimento de Física. … foi decidido chamar o estudante e permitir-lhe que, em seis minutos, providenciasse uma resposta verbal, na qual mostrasse uma certa familiaridade com os princípios básicos de Física»

jdact

“Bento de Jesus Caraça estudava para saber e ser útil ao seu semelhante, não para ‘trepar’ na carreira. Por isso lhe fizeram tanto mal aqueles que passam a vida a apregoar a moral em nome disto e daquilo. Quando se estuda para ‘trepar’ na carreira, que não para saber, o conhecimento ofusca-se e a mediocridade abunda. É exactamente por amediocridade ‘saber tudo’, que quase tudo vai mal”. In Armando Araújo (Não me lembro quem disse isto, mas é verdade)

‘Em nenhum momento, o homem de ciência pode dizer que atingiu a faceta última da realidade; o mais que pode desejar é dar uma descrição, uma imagem que satisfaça às duas exigências fundamentais: a interpretação e a previsão . […] E é esta acção recíproca, tantas vezes desconhecida ou desdenhada por certos homens de ciência e certos filósofos que vai a todo o momento tecendo a Ciência, fazendo dela esse maravilhoso instrumento humano, instrumento de luta, sempre incompleto, constantemente aperfeiçoado’. In Bento de Jesus Caraça.

(1885-1962)

Copenhaga

Cortesia de wikipédia

O que se segue diz respeito a uma questão de Física, num exame da Universidade de Copenhaga:

“Descreva como determinar a altura de um arranha-céus, usando um barómetro”.

Um estudante respondeu:

• “Amarro uma longa corda à parte mais estreita do barómetro, a seguir faço baixar o barómetro do telhado do arranha-céus até ao chão. O comprimento da corda mais o comprimento do barómetro será igual à altura do edifício”.

Esta resposta, altamente original, enfureceu o examinador, que ‘chumbou’ imediatamente o aluno. Este apelou, baseando-se no facto de que a sua resposta estava indubitavelmente correcta, e a Universidade nomeou um árbitro independente para decidir o caso. Na verdade, o árbitro decidiu que a resposta estava correcta, mas que não demonstrava qualquer conhecimento de Física. Para resolver este problema, foi decidido chamar o estudante e permitir-lhe que, em seis minutos, providenciasse uma resposta verbal, na qual mostrasse, pelo menos, uma certa familiaridade com os princípios básicos de Física.

Durante cinco minutos o estudante ficou em silêncio, franzindo a testa, como que em pensamento profundo. O árbitro lembrou-lhe que o tempo estava a passar, ao que o estudante respondeu ter diversas respostas extremamente relevantes, mas que não sabia qual delas utilizar. Sendo avisado para se despachar, replicou da seguinte forma:

• “Em primeiro lugar, poderei pegar num barómetro, ir até ao telhado do arranha-céus, deixá-lo cair ao longo da parede e medir o tempo que ele demora a atingir o chão. Desta forma, a altura do edifício poderá ser trabalhada a partir da fórmula: H = 0,5g x t². Mas isto seria má sorte para o barómetro”.
• “Ou, então, se o sol estivesse a brilhar, poderia medir a altura do barómetro, depois de assentá-lo na extremidade e medir o comprimento da sua sombra. Em seguida, iria medir o comprimento da sombra do arranha-céus e, depois de tudo isto, seria uma simples questão de aritmética proporcional para calcular a altura do arranha-céus. Era assim que os antigos gregos resolviam este tipo de problemas”.
• “Mas , se quiser ser rigorosamente científico acerca disto, poderei amarrar uma longa corda ao barómetro e abaná-lo como um pêndulo, primeiro ao nível do chão e, depois, ao nível do telhado do arranha-céus. A altura é trabalhada pela diferença na força da gravidade: T = 2p".
• “Ou, se o arranha-céus tiver uma escada exterior de emergência, será mais fácil usá-la e marcar a altura do arranha-céus em comprimentos do barómetro e, em seguida, adicioná-los.”
• “Se, simplesmente, quiser ser chato e ortodoxo na resposta, certamente poderei usar o barómetro para medir a pressão de ar no telhado do arranha-céus e no solo, e converter os milibares em pés, para dar a altura do edifício”.
• “Mas, uma vez que constantemente estamos a ser exortados a exercitar o pensamento independente e a aplicar os métodos científicos, indubitavelmente a melhor forma seria ir bater à porta do porteiro e dizer-lhe: —Se gostar de ter um barómetro bonito ofereço-lho, desde que me diga a altura do arranha-céus”.

O estudante em causa era Niels Bohr, o físico dinamarquês que ganhou o Prémio Nobel da Física

http://www.explicatorium.com/Niels-Bohr.php

‘Uma teoria é um enunciado universal que serve para racionalizar e explicar o mundo que nos rodeia. Uma ciência é um sistema de teorias, sistematicamente construído e bem elaborado. A ciência é a busca do significado prático, isto é, a busca de uma explicação que possa ser usada. A ciência consiste, entre outras coisas, em ordenar, simplificar, tornar assimilável pelo espírito o que lhe é indigesto’. In Herman Hesse.

‘A arte é uma manifestação distraída da inteligência’. In Fernando Pessoa.

‘A música é um exercício oculto de aritmética de uma alma inconsciente que lida com números’. In Leibniz.

In Armando Araújo, Matemática Lúdica, A Cultura é a única bagagem que não ocupa espaço, mas nem todos a podem transportar, AMBA, 2003.

continua

Com a amizade do Armando

JDACT

Matemática. Parte XVI. Trigonometria

Cortesia de anossaescola

Cortesia de aa

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4.

Como é que isso se faz?

Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove:

• Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem e exemplifiquem com outro qualquer dedo.

(Trigonometria)

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

Cortesia de atractor

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática. Parte XV: Cónicas

Cortesia de aa

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4.

Como é que isso se faz?

Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove:

• Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem e exemplifiquem com outro qualquer dedo.

(Cónicas)

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

Cortesia de colegio 

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte XIV: A Função Quadrática

JDACT

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem e exemplifiquem com outro qualquer dedo.

(A Função Quadrática)

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

JDACT/Com a colaboração de AA

Estatística. Parte I: Conceitos Básicos

Cortesia de brasilescola 

A Estatística utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experiências a modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenómenos futuros, conforme o caso. Por outras palavras, a estatística utiliza-se através das teorias probabilísticas para explicar a frequência de fenómenos e para possibilitar a previsão desses fenómenos no futuro.

 Cortesia de tia10g 

Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planeamento, a sumarização e a interpretação de observações. Dado que o objectivo da estatística é a produção da melhor informação possível a partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão.

Cortesia de bsideias

A estatística preocupa-se com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação e interpretação dos dados, assim como tirar conclusões sobre as características das fontes donde estes foram retirados, para melhor compreender as situações.

(01- Estatística)

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas.

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte XIII: Inequações de Grau Superior ao Primeiro

Cortesia de problemadomesdematematica 

Inequações de Grau Superior ao Primeiro

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem com outro qualquer dedo.

Cortesia de goncalinhomat

(Inequações de Grau Superior ao 1º)

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte XII: Inequações do 1º Grau

Cortesia de matematicadivertidagte

Na imagem que mostro no final do texto, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Cortesia de matematicaludica

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem com outro qualquer dedo.

Cortesia de superinteressante
(Inequações do 1º Grau)

Com a amizade de AA, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte XI: Equações do 2º Grau com Uma Incógnita

Cortesia de matemticanomundovirtual

Na imagem, no final do texto, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Cortesia de uc

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem com outro qualquer dedo.

Cortesia de dmatuevora

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

(Equações do 2º Grau com Uma Incógnita)

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte X: Sistemas do 1º Grau a Duas Incógnitas

Cortesia de esfarol

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Cortesia de AA

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem com outro qualquer dedo.

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

(Sistemas do 1º Grau a Duas Incógnitas)

JDACT/Com a colaboração de AA

A Matemática: Parte IX: Funções

Cortesia de literaturadecordel

Na imagem, encontram-se duas mãos, que representam a multiplicação de 9 por 4. Como é que isso se faz? Contar pelos dedos, hoje em dia já não é uma regra, o avanço tecnológico «não permite», dizem, tal atrevimento. No entanto, em «eras» referentes ao passado, por exemplo na Idade Média, na Universidade ensinava-se como efectuar, com os dedos, cálculos longos e por vezes complexos. Se as adições são perceptíveis e por isso mesmo, evidentes, já o mesmo não se pode dizer das multiplicações.

Cortesia JDACT

Vejamos, então, como se faz a multiplicação representada em cima que, curiosamente, era a mais fácil de todas, a multiplicação por nove: Enumeramos os dedos das duas mãos abertas, começando pelo dedo mindinho da mão esquerda. Dobramos o dedo correspondente ao número pelo qual queremos multiplicar nove (neste caso, n = 4). Deste modo, dobramos o dedo número quatro. Que obtemos? O valor 9 x 4. À esquerda do dedo dobrado há tantas dezenas quantos os dedos (neste caso 3 x 10 = 30) e à direita do mesmo dedo dobrado há tantas unidades quantos os dedos (neste caso 6). Que se faz agora? A seguinte adição: 30 + 6 = 36. De facto, 9 x 4 = 36.

Experimentem com outro qualquer dedo.

Cortesia de seed

Com a colaboração do amigo Armando Araújo, um «notável» em Artes Gráficas, continuo a publicar algumas noções de Matemática.

 

(Funções)

JDACT/Com a colaboração de AA

José Pinto Peixoto: Um génio. «The Hydrological Cycle»

Entrada do Centro de Documentação JPP no IM, IP

Cortesia de meteo

O Professor Doutor José Pinto Peixoto nasceu na Beira Interior a 8 de Novembro de 1922 e faleceu em Lisboa em 6 de Dezembro de 1996. Foi um dos mais destacados geofísicos e meteorologistas portugueses. Dos seus trabalhos destacam-se os estudos da circulação global da atmosfera e em particular do ciclo global da água na atmosfera. Em 1946 ingressou no Serviço Meteorológico Nacional, actualmente com a designação de Instituto de Meteorologia, I. P..

No Massachussets Institute of Technology (MIT) trabalhou com Victor Staar, Edward Lorenz, Barry Saltzman e Abraham Oort, cientistas de mérito reconhecido no estudo da circulação global da atmosfera. Esta colaboração com a equipa do MIT manteve-se desde 1956 e até ao momento da sua morte. Os seus ensinamentos foram «aroma» para toda a minha vida profissional. Como homenagem para o amigo Professor JPP publico algumas «sebentas».

Cortesia de amazon

A colaboração com Abraham Oort está na origem do livro «Physics of Climate» (1992), considerado uma obra notável, sendo JPP aclamado como o mestre dos mestres da climatologia nacional. Foi um Professor convidado de universidades estrangeiras de mérito indiscutível e publicou uma vasta obra científica em revistas nacionais e estrangeiras. Foi Presidente da Academia das Ciências de Lisboa.

(The Hydrological Cycle)
JDACT/com a colaboração de AA

José Pinto Peixoto: Um génio. Capítulo VIII

Cortesia de pracaalta

O Professor Doutor José Pinto Peixoto nasceu na Beira Interior a 8 de Novembro de 1922 e faleceu em Lisboa em 6 de Dezembro de 1996. Foi um dos mais destacados geofísicos e meteorologistas portugueses. Dos seus trabalhos destacam-se os estudos da circulação global da atmosfera e em particular do ciclo global da água na atmosfera. Em 1946 ingressou no Serviço Meteorológico Nacional, actualmente com a designação de Instituto de Meteorologia, I. P..

No Massachussets Institute of Technology (MIT) trabalhou com Victor Staar, Edward Lorenz, Barry Saltzman e Abraham Oort, cientistas de mérito reconhecido no estudo da circulação global da atmosfera. Esta colaboração com a equipa do MIT manteve-se desde 1956 e até ao momento da sua morte.

Os seus ensinamentos foram «aroma» para toda a minha vida profissional. Como homenagem para o amigo Professor JPP publico algumas «sebentas».

A colaboração com Abraham Oort está na origem do livro «Physics of Climate» (1992), considerado uma obra notável, sendo JPP aclamado como o mestre dos mestres da climatologia nacional. Foi um Professor convidado de universidades estrangeiras de mérito indiscutível e publicou uma vasta obra científica em revistas nacionais e estrangeiras. Foi Presidente da Academia das Ciências de Lisboa.

(Meteorologistas_Capítulo VIII)
JDACT/com a colaboração de AA