A Música dos Números Primos. Marcus Sautoy. «Riemann, o Wagner do mundo matemático, foi audacioso e fez uma previsão ousada sobre a melodia misteriosa que havia descoberto. Essa previsão ficou conhecida como a hipótese de Riemann»

Cortesia de wikipedia e jdact

«(…) De modo semelhante à heroína de Sagan, que escutava a pulsação cósmica de números primos, e a Sacks espionando os gémeos, há muitos séculos que os matemáticos se esforçam em decifrar alguma ordem nesse ruído. Porém, nada parecia fazer sentido, como ocorre quando ouvidos ocidentais escutam música oriental. Mas então, na metade do século XIX, foi feito um grande progresso. Bernhard Riemann passou a abordar o problema de uma forma completamente nova. Utilizando uma nova perspectiva, começou a compreender parte do padrão responsável pelo caos dos primos. Havia uma harmonia subtil e inesperada escondida sob o ruído externo dos primos. Apesar desse grande salto adiante, a nova música ainda ocultava muitos de seus segredos. Riemann, o Wagner do mundo matemático, foi audacioso e fez uma previsão ousada sobre a melodia misteriosa que havia descoberto. Essa previsão ficou conhecida como a hipótese de Riemann. Quem conseguir provar que a intuição de Riemann sobre a natureza dessa música estava correcta, terá explicado porque os primos nos transmitem uma impressão tão convincente de aleatoriedade.

Riemann desenvolveu sua ideia original após descobrir um espelho matemático através do qual era possível observar os primos. O mundo de Alice foi virado de cabeça para baixo quando a menina atravessou o espelho. Já no estranho mundo matemático situado do outro lado do espelho de Riemann, aconteceu o contrário: o caos dos primos pareceu tornar-se extremamente ordenado, revelando um padrão muito consistente. Assim, conjecturou que essa ordem sempre se manteria, por mais longe que fôssemos na nossa exploração do mundo infinito além do espelho. A sua previsão sobre a existência de uma harmonia interna do outro lado do espelho explicaria por que, vistos de fora, os primos parecem tão caóticos. A metamorfose provocada pelo espelho de Riemann, transformando o caos em ordem, parece quase um milagre para muitos matemáticos, e Riemann deixou-lhes o desafio de provar que a ordem que ele acreditava observar realmente existia.

O e-mail de Bombieri de 7 de Abril de 1997 prometia o início de uma nova era. Riemann enganara-se com uma miragem. O aristocrata matemático instigava os matemáticos com uma possível explicação para o caos aparente dos primos. Todos estavam ansiosos por adquirir os grandes tesouros que certamente seriam revelados pela solução desse problema tão difícil. Uma resposta para a hipótese de Riemann terá enormes implicações para muitos outros problemas matemáticos. Os números primos ocupam lugar tão fundamental na matemática que qualquer progresso na compreensão de sua natureza terá um impacto grandioso. A hipótese de Riemann parece ser um problema inevitável. Quando navegamos pelo terreno matemático, é como se todos os caminhos, em algum ponto, levassem necessariamente à mesma paisagem deslumbrante da hipótese de Riemann. Muitas pessoas compararam a hipótese de Riemann à escalada do monte Everest. Quanto mais tempo passa sem que ninguém o consiga escalar, maior se torna o desejo de realizar a façanha, e o matemático que finalmente conseguir vencer o monte Riemann certamente será lembrado por mais tempo que Edmund Hillary. A conquista do Everest é fascinante, não porque o cume seja um lugar particularmente agradável, e sim pelo desafio que representa. Nesse sentido, a hipótese de Riemann é muito diferente da ascensão do pico mais alto do mundo. Queremos atingir o cume da montanha de Riemann porque já sabemos das paisagens que se abrirão caso consigamos chegar ao topo. A pessoa que provar a hipótese permitirá que se preencham as lacunas de milhares de teoremas que dependem de sua confirmação. Muitos matemáticos viram-se obrigados a pressupor a veracidade da hipótese para atingir os seus próprios objectivos». In Marcus Sautoy, A Música dos Números Primos, 2003, 2004 (Harper Perennial), Edições Zahar, 2007, ISBN 978-853-780-037-9.

Cortesia de EZahar/JDACT

A Música dos Números Primos. Marcus Sautoy. «Estarão cientes de que os matemáticos se têm esforçado durante séculos para conceber um modo de fazer o que John e Michael faziam espontaneamente: gerar e reconhecer números primos?»

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«(…) Alguns filósofos podem discordar de uma visão de mundo tão platónica, essa crença numa realidade absoluta e eterna além da existência humana, mas acredito que é isso o que os torna filósofos, e não matemáticos. No livro Conversations on Mind, Matter and Mathematics, há um diálogo fascinante entre Alain Connes, o matemático citado no e-mail de Bombieri, e o neurobiólogo Jean-Pierre Changeux. Durante a conversa, nota-se um momento muito tenso quando o matemático defende a existência da matemática como algo externo à mente, enquanto o neurologista está determinado a refutar essa ideia: por que não veríamos π = 3,1416 escrito em letras douradas no céu, ou 6,02 × 1023 surgindo nas reflexões de uma bola de cristal? Changeux manifesta a sua frustração com a insistência de Connes de que, independentemente da mente humana, existe uma realidade matemática crua e imutável, e no centro desse mundo encontramos a lista imutável de primos. A matemática, declara Connes, é inquestionavelmente a única linguagem universal. Podemos imaginar a existência de diferentes químicas ou biologias do outro lado do Universo, mas os números primos continuarão sendo primos em qualquer galáxia em que os contemos.

No romance clássico de Carl Sagan, Contacto, os alienígenas usam números primos para fazer contacto com a vida na terra. Ellie Arroway, a heroína do livro, trabalha no programa Seti, sigla em inglês para Busca por inteligência extraterrestre, escutando as crepitações do cosmo. Certa noite, quando são apontados em direcção a Vega, os radiotelescópios subitamente captam pulsos estranhos sobrepostos ao ruído de fundo. Ellie reconhece imediatamente o ritmo desse sinal de rádio. Dois pulsos seguidos por uma pausa, então três pulsos, cinco, sete, onze e assim por diante, seguindo por todos os números primos até 907. Então a sequência recomeça. Esse tambor cósmico tocava uma música que os terráqueos não deixariam de reconhecer. Ellie tinha a certeza de que somente uma forma de vida inteligente poderia gerar esse ritmo: é difícil imaginar algum plasma radioactivo emitindo uma série regular de sinais matemáticos como esses. Os números primos foram escolhidos para chamar a nossa atenção. Se a cultura extraterrestre houvesse transmitido os números vencedores da lotaria alienígena dos últimos dez anos, Ellie não teria sido capaz de distingui-los do ruído de fundo. Embora a série de primos pareça ser tão aleatória quanto uma lista de bilhetes vencedores, a sua constância universal determinou a escolha de cada número nessa transmissão alienígena. Essa é a estrutura que Ellie reconhece como o sinal de vida inteligente.

A comunicação através de números primos não se restringe à ficção científica. No livro O homem que confundiu a sua mulher com um chapéu, Oliver Sacks relata o caso de dois irmãos gêmeos de 26 anos de idade, John e Michael, cuja forma mais profunda de comunicação consistia num intercâmbio de números primos de seis algarismos. Sacks descreve a primeira vez em que os encontrou trocando números secretamente no canto de uma sala: a princípio, pareciam dois sommeliers experientes, compartilhando sabores exóticos, apreciações subtis. Inicialmente, Sacks não consegue entender o que os gémeos estão fazendo. Porém, assim que decifra o código, memoriza alguns primos com oito algarismos e revela-os furtivamente durante a conversa da manhã seguinte. A surpresa dos gémeos é seguida por um momento de concentração profunda, que se transforma em júbilo quando reconhecem outro número primo.

Embora Sacks houvesse recorrido a tabelas de primos para descobrir os seus números, o modo como os gémeos geravam os seus primos é um enigma impenetrável. Será possível que esses autistas-génios conhecessem alguma fórmula secreta que passou despercebida por gerações de matemáticos? A história dos gémeos é uma das favoritas de Bombieri. Para mim, é difícil ouvi-la e não ficar pasmo e deslumbrado com o funcionamento do cérebro, mas não sei se os meus amigos não-matemáticos reagem da mesma maneira. Terão eles alguma ideia da natureza bizarra e fantástica, quase sobrenatural, desse talento singular que os gémeos manifestavam tão naturalmente? Estarão cientes de que os matemáticos se têm esforçado durante séculos para conceber um modo de fazer o que John e Michael faziam espontaneamente: gerar e reconhecer números primos?

Antes que alguém conseguisse descobrir o segredo dos gémeos, os médicos separam-os, aos 37 anos de idade, por acreditarem que essa linguagem numerológica privada estaria prejudicando o seu desenvolvimento. Se houvessem escutado as conversas abstrusas que circulam pelos departamentos universitários de matemática, esses médicos possivelmente também recomendariam interditá-los. É provável que os gémeos estivessem utilizando um truque baseado no que é chamado de pequeno teorema de Fermat para testar se um número é primo. O teste é semelhante ao método que os autistas-génios utilizam para determinar rapidamente que o dia 13 de Abril de 1922, por exemplo, foi uma quinta-feira, façanha que esses gémeos demonstravam regularmente em programas de TV. Ambos os truques dependem de algo conhecido como aritmética do relógio ou modular. Mesmo que não tivessem uma fórmula mágica para encontrar os primos, a sua habilidade era extraordinária. Antes de serem separados, já haviam chegado ao números de 20 algarismos, muito além dos valores atingidos pelas tabelas de primos de Sacks». In Marcus Sautoy, A Música dos Números Primos, 2003, 2004 (Harper Perennial), Edições Zahar, 2007, ISBN 978-853-780-037-9.

Cortesia de EZahar/JDACT

A Música dos Números Primos. Marcus Sautoy. «Uma lista dos primos é a tabela periódica do matemático. Os números 2, 3 e 5 são como o hidrogénio, o hélio e o lítio no laboratório do matemático»

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«(…) Connes é membro do Institut des Hautes Études Scientifiques de Paris, a resposta francesa ao Instituto de Princeton. Desde a sua chegada, em 1979, o matemático criou uma linguagem completamente nova para a compreensão da geometria. Ele não vê problemas em levar o assunto aos extremos da abstracção. Embora os matemáticos em geral se sintam bastante à vontade com o modo altamente conceitual com que a sua disciplina tende a enxergar o mundo, a maior parte deles recusou-se a acompanhar a revolução abstrata proposta por Connes. Ainda assim, essa nova linguagem geométrica revela muitos indícios sobre o funcionamento do mundo real da física quântica, como Connes se encarregou de demonstrar àqueles que questionam a necessidade de uma teoria tão inóspita. Se isso semeou o terror nos corações das massas matemáticas, que assim seja. Connes provocou surpresa e até espanto por acreditar que a sua nova geometria poderia não só desmascarar o mundo da física quântica como também explicar a hipótese de Riemann, o maior mistério existente sobre os números. A sua audácia em penetrar no coração da teoria dos números e confrontar abertamente o mais difícil dos problemas pendentes da matemática revela a sua falta de respeito pelas fronteiras convencionais. Desde que surgiu em cena, no meio da década de 1990, tem havido uma expectativa no ar, pois se há alguém capaz de dominar esse problema notoriamente difícil, esse alguém é Alain Connes.

Aparentemente, porém, a última peça do complexo quebra-cabeça não havia sido colocada por Connes. Bombieri continuava a carta contando que um jovem físico da plateia vira, num relance, como utilizar o seu mundo bizarro de sistemas fermiónicos-bosónicos supersimétricos para atacar a hipótese de Riemann. Não há muitos matemáticos familiarizados com esse conjunto de palavras estranhas, mas Bombieri explicou que ele descrevia a física correspondente ao agrupamento próximo ao zero absoluto de uma mistura de anions e trouxons com spins opostos. Ainda parecia bastante obscuro, mas vale lembrar que essa era a resposta para o problema mais difícil da história da matemática, portanto ninguém esperava uma solução simples. Segundo Bombieri, após seis dias de trabalho ininterrupto, e com a ajuda de uma nova linguagem de computador chamada Mispar, o jovem físico havia finalmente decifrado o pior problema matemático. Bombieri concluía o e-mail com as palavras: caramba! Difundam esta notícia o máximo possível. Embora a prova da hipótese de Riemann por um jovem físico fosse um facto extraordinário, não constituiu uma grande surpresa. Nas últimas décadas, boa parte da matemática tem estado entrelaçada com a física. Apesar de ser um problema ancorado na teoria dos números, há alguns anos a hipótese de Riemann vem apresentando ressonâncias inesperadas com questões da física de partículas.

Os matemáticos começaram a alterar os seus planos de viagem para poder ir a Princeton e presenciar o grande momento. Ainda havia memórias recentes da emoção sentida alguns anos antes, quando um matemático inglês, Andrew Wiles, anunciara uma prova do último teorema de Fermat numa palestra realizada em Cambridge, em Junho de 1993. Wiles provou que Fermat estava certo ao afirmar que a equação xⁿ + yⁿ = zⁿ não tem soluções quando n é maior que 2. Quando Wiles largou o pedaço de giz ao final da palestra, estouraram garrafas de champanhe, e máquinas fotográficas dispararam os seus flashes. Contudo, os matemáticos sabiam que a prova da hipótese de Riemann teria um significado muito maior para o futuro da matemática do que saber que a equação de Fermat não tem soluções. Como Bombieri aprendera nos seus tenros 15 anos, a hipótese de Riemann tenta compreender os objectos mais fundamentais da matemática, os números primos.

Esses números são os próprios átomos da aritmética. São os números indivisíveis, que não podem ser representados pela multiplicação de dois números menores. Os números 13 e 17 são primos, ao contrário de 15, que pode ser expresso como 3 vezes 5. Os primos são as pérolas que adornam a vastidão infinita do universo de números que os matemáticos exploraram ao longo dos séculos. Eles despertam a admiração dos matemáticos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, números eternos que existem numa espécie de mundo independente de nossa realidade física. São um presente da natureza para o matemático. A importância matemática dos primos deve-se à sua capacidade de gerar todos os demais números. Todo o número não primo pode ser formado pela multiplicação desses blocos de construção primos. Cada uma das moléculas do mundo físico pode ser composta por átomos da tabela periódica de elementos químicos. Uma lista dos primos é a tabela periódica do matemático. Os números 2, 3 e 5 são como o hidrogénio, o hélio e o lítio no laboratório do matemático. Ao dominar esses blocos de construção, o matemático tem a esperança de descobrir novos caminhos através da grande complexidade do mundo da matemática». In Marcus Sautoy, A Música dos Números Primos, 2003, 2004 (Harper Perennial), Edições Zahar, 2007, ISBN 978-853-780-037-9.

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A Música dos Números Primos. Marcus Sautoy. «Em 7 de Abril de 1997, os computadores de todo o mundo matemático (…) anunciavam que o “Cálice Sagrado” da matemática fora finalmente encontrado»

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«Numa manhã quente e húmida de Agosto de 1900, o professor David Hilbert, da Universidade de Gottingen, postou-se frente aos cientistas que lotavam a sala de conferências do Congresso Internacional de Matemáticos, realizado na Sorbonne, em Paris. Hilbert já era considerado um dos maiores matemáticos da época e havia preparado uma palestra ousada. Falaria sobre o desconhecido, e não sobre o que já fora provado. Essa abordagem era contrária a todas as convenções habituais, e a plateia pôde notar o nervosismo na voz de Hilbert quando ele começou a esboçar a sua visão sobre o futuro da matemática. Quem de nós não gostaria de levantar o véu que esconde o futuro, vislumbrando os próximos avanços da nossa ciência e os segredos do seu desenvolvimento nos séculos que virão? Para anunciar o novo século, Hilbert desafiou a plateia com uma lista de 23 problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dos exploradores matemáticos do século XX. Durante as décadas seguintes encontraram-se respostas para muitos desses problemas, e os seus descobridores passaram a integrar um ilustre grupo de matemáticos chamado de classe de honra, que inclui nomes como Kurt Godel e Henri Poincaré, ao lado de muitos outros pioneiros cujas ideias transformaram o panorama da matemática. Porém, um dos problemas, o oitavo da lista de Hilbert, parecia disposto a atravessar o século sem um vencedor: a hipótese de Riemann.

De todos os desafios lançados por Hilbert, o oitavo tinha algo de especial. Há um mito alemão sobre Frederico Barba-Ruiva, um imperador muito querido que morreu durante a Terceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda estaria vivo, adormecido numa caverna nas montanhas Ky ffhauser, e só despertaria quando a Alemanha precisasse dele. Conta-se que alguém perguntou a Hilbert: e se, como Barba-Ruiva, pudesse acordar após 500 anos, o que faria? Hilbert respondeu: eu lhe perguntaria, alguém conseguiu provar a hipótese de Riemann? Quando o final do século XX se aproximava, a maioria dos matemáticos haviam-se resignado à ideia de que essa pérola entre os demais problemas de Hilbert não sobreviveria apenas ao século, talvez continuasse sem resposta quando Hilbert despertasse de seu sono de 500 anos. Ele havia chocado a plateia do primeiro Congresso Internacional do século XX com a sua palestra revolucionária, rica de desconhecido. Porém, uma nova surpresa aguardava os matemáticos que planeavam participar no último congresso do século.

Em 7 de Abril de 1997, os computadores de todo o mundo matemático divulgaram uma notícia extraordinária. A página virtual do Congresso Internacional de Matemáticos, marcado para o ano seguinte em Berlim, anunciou que o Cálice Sagrado da matemática fora finalmente encontrado. A hipótese de Riemann havia sido provada. Essa notícia teria importantes efeitos, pois a hipótese de Riemann era um problema fundamental para toda a matemática. Os matemáticos liam o seu correio eletrónico entusiasmados com a perspectiva de entender um dos maiores mistérios da sua disciplina. O anúncio não poderia ter vindo de fonte mais confiável e respeitada, uma carta do professor Enrico Bombieri, um dos guardiões da hipótese de Riemann e membro do prestigiado Instituto de Estudos Avançados de Princeton, por onde já haviam passado Einstein e Godel. O seu discurso é sereno, mas os matemáticos sempre escutam atentamente o que ele tem a dizer.

Bombieri cresceu na Itália, onde os prósperos vinhedos da família o ensinaram a apreciar as boas coisas da vida. Os seus colegas chamam-no carinhosamente de aristocrata matemático. Quando jovem, cultivava uma imagem arrojada nas conferências europeias das quais participava, muitas vezes chegando em extravagantes carros desportivos, e gostava de espalhar o boato de que teria certa vez ficado em sexto lugar num rali de 24 horas na Itália. Seus êxitos no circuito matemático foram mais concretos e, nos anos 1970, renderam- lhe um convite para ir a Princeton, onde se estabeleceu desde então. Bombieri trocou o seu entusiasmo por ralis por uma paixão pela pintura, em particular por retratos. Porém, o que realmente o fascina é a arte criativa da matemática, em especial o desafio da hipótese de Riemann. Bombieri é obcecado pela hipótese desde a primeira vez que leu a seu respeito, com apenas 15 anos de idade. As propriedades dos números já o fascinavam na época em que vasculhava os livros de matemática que o seu pai, um economista, coleccionava numa extensa biblioteca. Bombieri descobriu que a hipótese de Riemann era considerada o problema mais profundo e fundamental da teoria dos números. A sua paixão pela questão cresceu ainda mais quando o seu pai lhe prometeu comprar um Ferrari se conseguisse resolver o problema, o pai de Enrico tentava desesperadamente fazer com que o rapaz parasse de pedir o seu carro emprestado.

De acordo com o seu e-mail, Bombieri perdera a disputa pelo prémio. A palestra de Alain Connes no IEA, na última quarta-feira, gerou um desenvolvimento fantástico, começava Bombieri. Vários anos antes, o mundo matemático ficara em alerta ao ouvir a notícia de que Alain Connes havia decidido dedicar-se à solução da hipótese de Riemann. Connes é um dos revolucionários desse tema, um Robespierre benigno da matemática frente ao Luís XVI representado por Bombieri. É uma figura extremamente carismática, cujo estilo apaixonado destoa muito da imagem do matemático sério e canhestro. Tem a motivação de um fanático que está convencido da sua visão do mundo, e as suas palestras são arrebatadoras. Seus seguidores praticamente o idolatram, adoram unir-se em barricadas matemáticas para defender o seu herói frente a qualquer contra-ofensiva das posições entrincheiradas do Antigo Regime». In Marcus Sautoy, A Música dos Números Primos, 2003, 2004 (Harper Perennial), Edições Zahar, 2007, ISBN 978-853-780-037-9.

Cortesia de EZahar/JDACT