Fascínios da Matemática: Descobrindo o Infinito em Pequenos Espaços. «Infinito é uma «quantidade que não termina. O conceito de infinito é de difícil apreensão. Aquilo que se vê é um espelho dentro de um espelho dentro de um espelho dentro de um espelho ... nunca mais acabando»

Cortesia de cienciaeculturabvs

Descobrindo o Infinito em Pequenos Espaços.

«Consegue imaginar o que é o infinito? «Infinito» é uma «quantidade que não termina». O conceito de infinito é de difícil apreensão e, ao passo que facilmente percebemos que o número 7 pode caracterizar um conjunto de 7 maçãs e que o número mil milhões (1 000 000 000) pode descrever o número de grãos de areia contidos num pote, uma quantidade infinita não termina. Uma forma curiosa de adquirir uma noção física de infinito consiste em colocar um espelho directamente em frente de outro de maior tamanho. Aquilo que se vê é um espelho dentro de um espelho dentro de um espelho dentro de um espelho ... nunca mais acabando.

Cortesia de theonipappas 

Muitas pessoas imaginam que uma quantidade infinita deve ocupar um espaço muito grande, mas neste pequeno segmento de recta[AB], A___________B existe um número infinito de pontos.

Para o demonstrar, recorremos à ideia de que entre quaisquer dois pontos é sempre possível existir outro. Assim, se os pontos A e B pertencem ao segmento, então existe outro ponto C entre ambos. Obviamente, entre o ponto A e o ponto C existirá também um, o mesmo sucedendo entre o ponto C e o ponto B. Este processo de determinação de um ponto situado entre quaisquer outros dois prolonga-se indefinidamente e, por isso, existe um número infinito de pontos no segmento [AB].

Outro modo de descrever uma quantidade infinita é por meio da história da pulga.

Cortesia de theonipappas 

«Meia-pulga» pretende deslocar-se, aos saltos, de uma extremidade da sala para a outra. A amiga faz com ela uma aposta: ela nunca atingirá o outro lado da sala se der apenas saltos que cubram metade da distância a percorrer. «Meia-pulga» responde que não terá qualquer dificuldade em atingir assim o ponto desejado.

O seu primeiro salto leva-a até metade da sala, o segundo cobre metade da distância restante, o terceiro metade da distância que falta percorrer, e assim sucessivamente. Embora se encontre muito perto da outra extremidade da sala, tem de manter a promessa, segundo a qual cada salto só pode cobrir metade da distância restante. Finalmente, «Meia-pulga» apercebe-se de que haverá sempre uma distância restante e de que só poderá saltar metade dessa distância, e isto, a não ser que desista, prolongar-se-á para sempre.

Assim, embora o infinito seja uma quantidade que não termina e que não pode ser identificada por nenhum número, pode existir tanto em pequenos espaços como nos muito grandes». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: O Nó de Trevo. «Para dar um "nó de trevo", utilize uma tira de papel comprida e dê-lhe três meias voltas, unindo depois as suas extremidades com fita-cola. Com uma tesoura, corte longitudinalmente a tira de papel ao meio»

Cortesia de promariza

O Nó de Trevo

Para a maioria das pessoas, dar nós transformou-se num processo de rotina iniciado na altura em que aprenderam a apertar os atacadores dos sapatos. Como é evidente, dar nós pode também ser uma arte, especialmente quando observamos marinheiros a aparelhar um barco. No entanto, dar nós é também um tema matemático situado na área da topologia, e o conceito mais importante até agora demonstrado é o de que «um nó não pode existir em mais do que três dimensões».

http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_strip
http://arca.encanners.net/code/py/trefoil-knot.html

O nó de trevo

Para dar um «nó de trevo», como o que a figura ilustra, utilize uma tira de papel comprida e dê-lhe três meias voltas, unindo depois as suas extremidades com fita-cola. Com uma tesoura, corte longitudinalmente a tira de papel ao meio. O resultado será um nó de trevo.

Cortesia de wikipedia

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Quadrados Mágicos. Segunda Parte. «O «método da escada», inventado por La Loubere, é muito conhecido por todos os entusiastas dos quadrados mágicos. Tente construir o quadrado mágico de 5x5 usando os primeiros 25 números naturais. Experimente ainda alguns dos métodos mencionados para alterar quadrados mágicos para se aperceber de como funcionam»

Cortesia de genymatematica e theonipappas

Quadrados Mágicos, segunda parte.

Processos para Transformar um Quadrado Mágico dado noutro Quadrado Mágico

1) Se adicionarmos ou multiplicarmos qualquer dos números de um quadrado mágico por um número, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

2) Se permutarmos duas linhas ou duas colunas equidistantes do centro, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

3)

• a) Permutando os quadrantes de um quadrado mágico de ordem par o quadrado resultante será um quadrado mágico.

• b) Permutando quadrantes parciais e linhas de um quadrado mágico de ordem ímpar, o quadrado resultante será um quadrado mágico.

Já se escreveu mais sobre quadrados mágicos do que sobre qualquer outro tema de matemática recreativa. Benjamin Franklin gastou um tempo apreciável a conceber métodos para a construção de quadrados mágicos. É um desafio apaixonante utilizar os primeiros 25 números naturais e dispô-los num quadrado de 5x5, de forma que os números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal totalizem o mesmo valor. Este quadrado seria um quadrado mágico de «ordem 5». Qualquer quadrado mágico com um número ímpar de linhas e de colunas é de «ordem ímpar», ao passo que se tiver um número par, a sua «ordem será par». Ainda hoje se estudam processos para construir quadrados mágicos de ordem par com qualquer tamanho; em contrapartida, para os de ordem ímpar há um grande número de métodos gerais aplicáveis na construção de quadrados mágicos de qualquer tamanho.

O «método da escada», inventado por La Loubere, é muito conhecido por todos os entusiastas dos quadrados mágicos. Vamos construir um quadrado mágico de 3x3.

O Método da Escada

1) Comece por escrever o número 1 na casa central da linha de cima;

2) O número seguinte deverá ser colocado diagonalmente, numa casa contígua acima da anterior, a não ser que esta se encontre ocupada. Se a casa em questão pertencer a um quadrado imaginário exterior ao nosso quadrado mágico, dever-se-á procurar a sua localização no quadrado mágico, que é a casa correspondente à do quadrado imaginário;

3) Se, no quadrado mágico, a casa superior diagonalmente contígua estiaer ocupada, escreva o número na casa que fica imediatamente abaixo à do número oríginal, como acontece, por exemplo, com os números 4 e 7;

4) Repita as etapas (2) e (3) até obter a localizaçao dos restantes números do quadrado mágico.

Recorrendo ao método da escada, tente construir o quadrado mágico de 5x5 usando os primeiros 25 números naturais. Experimente ainda alguns dos métodos mencionados para alterar quadrados mágicos para se aperceber de como funcionam. Utilizando um dos quadrados que construiu, multiplique cada um dos seus

números por uma constante à sua escolha. Será que o quadrado resultante é tambem um quadrado mágico? Foram concebidos diversos métodos para construir um quadrado mágico de uma determinada ordem par. O «método da diagonal», por exemplo, aplica-se apenas ao quadrado mágico de 4x4.

Procedimento:

Comece por colocar os números sequencialmente em cada uma das linhas do quadrado mágico. Quando um número se situar numa das casas das diagonais, deverá ser substituído pelo seu número complementar.

Num quadrado mágico de 4x4, tanto as linhas como as colunas podem ser permutadas, mantendo o quadrado as suas propriedades». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Quadrados Mágicos. Primeira Parte. «Quaisquer dois números equidistantes do centro (numa linha, coluna ou diagonal), são complementares. Num quadrado mágico, dois números dizem-se complementares se a sua soma for igual à soma dos menor e maior números do quadrado»

Cortesia de zazzle  

Quadrados Mágicos

«Durante muitos séculos, muitas pessoas sentiram-se intrigadas pelos quadrados mágicos. Desde os tempos mais remotos, mantiveram sempre uma ligação com o sobrenatural e com o mundo da magia. Algumas escavações arqueológicas revelaram a sua existência em antigas cidades da Ásia, sendo o registo mais antigo

referente a 220 a.C. numa cidade da China. O quadrado mágico era designado «lo-shu» e a lenda conta que foi visto pela primeira vez pelo imperador Yu na carapaça de uma tartaruga sagrada nas margens do rio Amarelo.

Cortesia de theonipapas

Os nós pretos representam números pares e os nós brancos números ímpares.

Neste quadrado mágico, o número mágico, que é a soma dos números de

qualquer linha, coluna ou diagonal, é quinze.

No mundo ocidental, os quadrados mágicos foram pela primeira vez referidos em 130 d.C. na obra de Téon de Esmirna. Por volta do século IX, os quadrados mágicos foram introduzidos no mundo da astrologia e utilizados por árabes nos cálculos de horóscopos. Finalmente, com os trabalhos do matemático grego Moschopoulos, em 1300 a.C., os quadrados mágicos e as suas propriedades foram divulgados no hemisfério ocidental, especialmente durante o Renascimento.

Algumas Propriedades dos Quadrados Mágicos

A ordem de um quadrado mágico é definida pelo seu número de linhas ou colunas. Este quadrado mágico é de «ordem 3», por ter «3 linhas».

Cortesia de theonipappas

A magia de um quadrado mágico provém das suas propriedades fascinantes, entre as quais estão as seguintes:

1) A soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal tem o mesmo valor. Esta constante mágica pode ser obtida por um dos seguintes processos;

• a) A partir do número de ordem do quadrado mágico, n, determina-se o valor de 1/2 (n(n2+1)), sendo o quadrado mágico constituído pelos números l, 2, 3, …, n2.

• b) Considerando um quadrado mágico com um número de ordem qualquer, se dispusermos sequencialmente, linha a linha e a começar no canto superior esquerdo, os números que o compõem, a soma dos números de cada diagonal é igual à constante mágica.

2) Quaisquer dois números equidistantes do centro (numa linha, coluna ou diagonal), são complementares. Num quadrado mágico, dois números dizem-se complementares se a sua soma for igual à soma dos menor e maior números do quadrado.

In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2. 

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: O Trio Impossível. «Existem problemas para os quais se conclui não existir solução. ...para se chegar a esta conclusão são muito fascinantes, acontecendo no processo descobertas estimulantes de novas ideias. Foi o que aconteceu com três problemas famosos da antiguidade»

Cortesia de logicamentepedagogia 

O Trio Impossível

«A beleza de um problema matemático não reside na resposta, mas sim nos métodos usados para o resolver. Existem problemas para os quais se conclui não existir solução. De certo modo, isso parece algo frustrante, mas os raciocínios utilizados para se chegar a essa conclusão são com frequência muito fascinantes, acontecendo no processo descobertas estimulantes de novas ideias. Foi precisamente o que aconteceu com três problemas famosos da antiguidade.

• Trissecção de um ângulo - dividir um ângulo em três ângulos congruentes.
• Duplicação de um cubo - construir um cubo com o dobro do volume de um dado cubo.
• Quadratura de um círculo - construir um quadrado com a mesma medida de área de um dado círculo.

Estes problemas estimularam o pensamento e as descobertas matemáticas durante mais de dois milénios, até se determinar que os três problemas de construção não se podiam resolver utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada. Deduziu-se que uma régua não graduada pode ser utilizada para construir segmentos de recta cujas equações são lineares (equações do 1º grau), por exemplo y=3x - 4. Um compasso, por outro lado, pode construir circunferências e arcos, com equações do 2º grau, por exemplo x2+y2=25.

Uma régua não graduada não tem

nenhum comprimento assinalado

Cortesia de Theoni Pappas

Quando estas equações são resolvidas como um sistema, resultam no máximo equações do 2º grau, mas as equações que são necessárias para resolver os três problemas de construção de modo algébrico não são nem do 1º nem do 2º grau. São equações cúbicas (do 3º grau) ou envolvem números transcendentes (1). Portanto, uma régua não graduada e um compasso são insuficientes para obter estes tipos de equações e de números.

(1) Os números transcendentes são números irracionais que não são raízes de polinómios de coeficientes racionais.

Trissecação de um ângulo

Alguns ângulos particulares, tais como os de 135º e os de 90º, podem ser trissectados a partir da utilização de uma régua não graduada e de um compasso, mas, no caso geral, é impossível dividir um ângulo em três partes iguais, recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada porque, pode ser demonstrado, que a equação usada para resolver o problema é cúbica e tem a forma a3 – 3a – 2b=0.

Cortesia de Theoni Pappas

Duplicação de um cubo

Ao tentarmos duplicar um cubo, ou seja achar um outro de volume duplo, pode existir a tentação de duplicar o comprimento da aresta. Na realidade, obtemos desta forma um cubo com um volume oito vezes superior.

O volume do cubo que vai ser duplicado é a3.

Cortesia de Theoni Pappas

Para duplicar este cubo queremos obter um outro com o dobro do volume, ou seja 2 a3.

Cortesia de Theoni Pappas

Novamente, acabamos por obter uma equação do 3e grau que não podemos construir recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada.

Quadratura do círculo

Dado um círculo de raio r, a sua área é dada por πr2.

Queremos portanto construir um quadrado com área πr2.

x2= πr2,portanto x=r √π. Como π é um número transcendente, não pode ser expresso por meio de um número finito de operações racionais e raízes reais, portanto não se pode obter a quadratura do círculo, usando apenas compasso e régua não graduada.

Cortesia de Theoni Pappas

Apesar de termos visto que estes três problemas da antiguidade são impossíveis de resolver utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada, foram criados métodos engenhosos para os solucionar.

Igualmente importante, estes problemas estimularam, ao longo de vários séculos, a evolução do pensamento matemático.

A concóide de Nicomedes, a espiral de Arquimedes, a quadratiz de Hípias, as secções cónicas, as curvas de 3º e 4º graus e várias curvas transcendentes são algumas das ideias que brotaram destes problemas da antiguidade». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Os Hexágonos na Natureza. «Ao construir uma célula hexagonal para servir de favo de mel, a abelha usa a menor quantidade de cera e despende a menor quantidade de esforço para circunscrever um dado espaço»

Cortesia de dreamstime

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Os Hexágonos na Natureza

Muitas das criações da natureza são espantosos modelos de objectos matemáticos, como o quadrado e o círculo; também o hexágono regular é um desses objectos. O hexágono é uma figura de 6 lados, e diz-se regular se todos eles tiverem o mesmo comprimento e se os seus ângulos tiverem todos a mesma amplitude.

Alguns matemáticos demonstraram que apenas os hexógonos regulares, os quadrados e os triângulos equiláteros podem ser justapostos (formando uma pavimentação) de modo a que não exista qualquer espaço não ocupado entre eles.

Cortesia de theoni pappas

Das três figuras, o hexágono é a que tem o menor perímetro para uma dada área. Isto significa que, ao construir uma célula hexagonal para servir de favo de mel, a abelha usa a menor quantidade de cera e despende a menor quantidade de esforço para circunscrever um dado espaço. Podemos encontrar a forma hexagonal nos favos de mel, nos flocos de neve, nas moléculas, nos cristais, nas formas marinhas e noutras formas.

Ao caminhar numa estrada coberta de neve estamos, na verdade, no meio de um conjunto magnífico de formas geométricas. O floco de neve é um dos exemplos mais excitantes de simetria hexagonal da natureza.

Cortesia de dreamstime

Cortesia de luciamartinelli06

É possível descobrir hexágonos na formação de cada floco de neve, e o número infinito de combinações de padrões hexagonais explica a crença comum de que não existem dois flocos de neve idênticos.

Cortesia de theoni pappa

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Lúnulas

Cortesia de voxnostra

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Lúnulas

A palavra lúnula tem a sua origem no termo latim lunar - com a forma da Lua. As lúnulas são regiões planas delimitadas por arcos de diferentes circunferências (ver as figuras em forma de crescente, a seguir).

Hipócrates de Quios (460-380 a.C.), que não deve ser confundido com o famoso médico de Cós (autor do juramento hipocrático), procedeu a um estudo exaustivo das lúnulas pois, provavelmente, teria acreditado que isso o iria ajudar a resolver o problema da quadratura do círculo.

Cortesia de Theoni Pappas

 

Hipócrates de Quios descobriu e demonstrou que:

A soma das áreas de duas lúnulas construídas a partir de dois lados de um triângulo inscrito numa semicircunferência é igual à área do triângulo.

Demonstração:

Embora Hipócrates não tivesse tipo êxito nos seus esforços para obter a quadratura do círculo, as suas investigações ajudaram-no a descobrir muitas ideias matemáticas novas.

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: O Infinito e o Círculo

Cortesia de theonipappas

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

O Infinito e o Círculo

Todo o círculo é delimitado por uma circunferência, cujo comprimento é uma quantidade finita. Um dos métodos para determinar a fórmula que nos permite calcular o perímetro do círculo recorre ao conceito de infinito, estudando a sequência dos perímetros de polígonos regulares inscritos.

Cortesia de labmatvitorino

(Um polígono regular tem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.) Calculando o perímetro de cada polígono regular inscrito, pode verificar-se que, à medida que o número de lados aumenta, o seu perímetro se aproxima cada vez mais do perímetro do círculo. Na realidade, o limite do perímetro dos polígonos, à medida que o número de lados tende para infinito, é igual ao comprimento da circunferência. O diagrama mostra que, quanto maior for o número de lados de um polígono, tanto mais próximos da curva eles se encontram e mais parecido com a circunferência aquele se torna.

Cortesia de theonipappas

 

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: O Teorema de Héron

Cortesia de factosmatematicos

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

O Teorema de Héron

Muitos de nós aprendemos a calcular a área de um triângulo utilizando os comprimentos de uma altura e da base que lhe corresponde. Mas sem o Teorema de Héron, o cálculo da área, conhecendo-se apenas o comprimento dos três lados, requeria conhecimentos trigonométricos.

Cortesia de Theoni Pappas
Héron é conhecido, na história da Matemátíca, sobretudo pela seguinte fórmula:

A fórmula de Héron é anterior a Arquimedes que, provavelmente, a demonstrou, mas o seu registo escrito mais antigo encontra-se num texto de Héron, Métrica.

A melhor forma de descrever Héron é dizendo que ele representava um tipo não clássico de matemático, mais preocupado com os aspectos práticos do que com o seu lado teórico e encarando a matemática quer como ciência quer como arte. Como consequência, também é conhecido como inventor de um tipo primitivo de máquina a vapor, de inúmeros brinquedos, de uma máquina contra incêndios que bombeava água, de luzes de altar que se acendiam assim que se abrissem as portas do templo, de um órgão a vento e muitos outros dispositivos mecânicos baseados nas propriedades dos fluidos e nas leis da mecânica.

Cortesia de wikipedia

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Um Olhar sobre a Arquitectura Gótica e a Geometria

Cortesia de wikipedia

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.

Um Olhar sobre a Arquitectura Gótica e a Geometria

Este projecto gótico raro mostra a utilização da geometria e das leis de simetria na arquitectura da Catedral de Milão.

Cortesia de wikipedia

Este projecto foi publicado em 1521, por Caesar Caesariano, mestre arquitecto da Catedral de Milão.

Cortesia de wikipedia

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT

Fascínios da Matemática: Os cavalos Persas e o Quebra-cabeças de Sam Loyd

Cortesia de mtmufsc

Com a devida vénia a Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2. 

Os cavalos Persas e o Quebra-cabeças de Sam Loyd
Este desenho Persa do século XVII representa, na verdade, quatro cavalos. Consegue descobri-los?

Cortesia de Theoni Pappas

NOTA: Existem 2 cavalos na horizontal, colocados barriga com barriga, e 2 na vertical, com os dorsos juntos.

O desenho anterior pode ter inspirado o quebra-cabeças do cavaleiro e do burro, da autoria do mestre charadista Sam Loyd (1841-1911).

Cortesia de TheoniPappas

A versão original de Loyd foi criada em 1858, quando este ainda era adolescente.

O problema consiste em cortar a figura em três rectângulos ao longo das linhas assinaladas a tracejado, reordenando-os sem os dobrar, de modo a que se vejam os dois cavaleiros a galope em dois burros.

Cortesia de TheoniPappas

Este quebra-cabeças teve um sucesso imediato e tornou-se tão popular que se julga que Sam Loyd ganhou 10 000 dólares em poucas semanas.

Cortesia de TheoniPappas

Cortesia de Theoni Pappas/JDACT