Cortesia de logicamentepedagogia
O Trio Impossível
«A beleza de um problema matemático não reside na resposta, mas sim nos métodos usados para o resolver. Existem problemas para os quais se conclui não existir solução. De certo modo, isso parece algo frustrante, mas os raciocínios utilizados para se chegar a essa conclusão são com frequência muito fascinantes, acontecendo no processo descobertas estimulantes de novas ideias. Foi precisamente o que aconteceu com três problemas famosos da antiguidade.
- Trissecção de um ângulo - dividir um ângulo em três ângulos congruentes.
- Duplicação de um cubo - construir um cubo com o dobro do volume de um dado cubo.
- Quadratura de um círculo - construir um quadrado com a mesma medida de área de um dado círculo.
Estes problemas estimularam o pensamento e as descobertas matemáticas durante mais de dois milénios, até se determinar que os três problemas de construção não se podiam resolver utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada. Deduziu-se que uma régua não graduada pode ser utilizada para construir segmentos de recta cujas equações são lineares (equações do 1º grau), por exemplo y=3x - 4. Um compasso, por outro lado, pode construir circunferências e arcos, com equações do 2º grau, por exemplo x2+y2=25.
Uma régua não graduada não tem
nenhum comprimento assinalado
Cortesia de Theoni Pappas
Quando estas equações são resolvidas como um sistema, resultam no máximo equações do 2º grau, mas as equações que são necessárias para resolver os três problemas de construção de modo algébrico não são nem do 1º nem do 2º grau. São equações cúbicas (do 3º grau) ou envolvem números transcendentes (1). Portanto, uma régua não graduada e um compasso são insuficientes para obter estes tipos de equações e de números.
(1) Os números transcendentes são números irracionais que não são raízes de polinómios de coeficientes racionais.
Trissecação de um ângulo
Alguns ângulos particulares, tais como os de 135º e os de 90º, podem ser trissectados a partir da utilização de uma régua não graduada e de um compasso, mas, no caso geral, é impossível dividir um ângulo em três partes iguais, recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada porque, pode ser demonstrado, que a equação usada para resolver o problema é cúbica e tem a forma a3 – 3a – 2b=0.
Cortesia de Theoni Pappas
Duplicação de um cubo
Ao tentarmos duplicar um cubo, ou seja achar um outro de volume duplo, pode existir a tentação de duplicar o comprimento da aresta. Na realidade, obtemos desta forma um cubo com um volume oito vezes superior.
O volume do cubo que vai ser duplicado é a3.
Cortesia de Theoni Pappas
Para duplicar este cubo queremos obter um outro com o dobro do volume, ou seja 2 a3.
Cortesia de Theoni Pappas
Novamente, acabamos por obter uma equação do 3e grau que não podemos construir recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada.
Quadratura do círculo
Dado um círculo de raio r, a sua área é dada por πr2.
Queremos portanto construir um quadrado com área πr2.
x2= πr2,portanto x=r √π. Como π é um número transcendente, não pode ser expresso por meio de um número finito de operações racionais e raízes reais, portanto não se pode obter a quadratura do círculo, usando apenas compasso e régua não graduada.
Cortesia de Theoni Pappas
Apesar de termos visto que estes três problemas da antiguidade são impossíveis de resolver utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada, foram criados métodos engenhosos para os solucionar.
Igualmente importante, estes problemas estimularam, ao longo de vários séculos, a evolução do pensamento matemático.
A concóide de Nicomedes, a espiral de Arquimedes, a quadratiz de Hípias, as secções cónicas, as curvas de 3º e 4º graus e várias curvas transcendentes são algumas das ideias que brotaram destes problemas da antiguidade». In Theoni Pappas, The Joy of Mathematics, Fascínios da Matemática, Editora Replicação, Lda, 1ª edição, Junho de 1998, ISBN 972-570-204-2.
Cortesia de Theoni Pappas/JDACT
