As Fatias do Bolo-Rei. Nuno Crato. «O problema não é simples e os matemáticos têm vindo a desenvolver algoritmos para partilhas equitativas, Esses algoritmos podem ter aplicações em áreas muito diversas…»

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As fatias do bolo-rei

«Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte ou é tolo ou não tem arte, diz um ditado popular. É verdade: se a pessoa a fazer a divisão for também a que fizer a escolha, nada garante que um dos parceiros não fique prejudicado. Por isso, e para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor é proceder em duas etapas: um dos parceiros divide o bolo e o outro escolhe a sua fatia. Desta forma, é do interesse do primeiro fazer a divisão da forma mais equitativa possível, pois, se assim não acontecer, terá a certeza de ficar com o pior bocado. É uma sábia conjugação de situações, pois os dois parceiros, afinal ambos movidos pelo egoísmo, colaboram de forma que nenhum fique prejudicado. A história é muito conhecida e aplicada em muitas situações do dia-a-dia, e não só na divisão de guloseimas entre crianças. O problema complica-se, contudo, se o bolo tiver de ser dividido entre mais de dois parceiros. Como se há-de fazer se forem três, por exemplo? Ou se forem muitos mais? E se tivermos um bolo a dividir entre vinte pessoas igualmente gulosas?

O problema não é simples e os matemáticos têm vindo a desenvolver algoritmos para partilhas equitativas, Esses algoritmos podem ter aplicações em áreas muito diversas, desde a partilha de heranças e a divisão de obrigações pecuniárias até às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países. O algoritmo um parte, outro escolhe pode aplicar-se a mais de dois parceiros. Se tivermos quatro pretendentes a um bolo, por exemplo, o algoritmo desdobra-se em duas etapas. Começa-se por agrupar os pretendentes ao bolo em dois grupos, com dois elementos em cada grupo. Um dos grupos divide o bolo em duas partes e o outro escolhe a sua metade. Na segunda etapa, cada par de gulosos divide a sua metade de bolo ao meio, seguindo de novo o processo de um partir e o outro escolher.

É fácil ver que este método interactivo pode funcionar igualmente para oito pessoas ou, em geral, para potências de dois. Mas já não é tão simples encontrar uma solução no caso de haver três pessoas. Mas pensando bem, consegue arranjar-se um método que funcione nesse caso. Quer o leitor dar uma sugestão? Os matemáticos, contudo, não gostam de soluções que apenas funcionam para casos particulares, pelo que têm procurado algoritmos mais gerais. O ideal seria encontrar um método que funcionasse com qualquer número de pessoas. Um desses métodos, proposto pelos matemáticos polacos Stefan Banach (1892--1945) e Bronislaw Knaster (1893-1980), resolve o problema com um número qualquer de parceiros. É o chamado algoritmo da faca deslizante. Este caso é mais fácil de perceber com um bolo sobre o comprido, como um bolo inglês». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, 2008, Gradiva Publicações, 2011, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de GradivaP/JDACT

Rodas Dentadas. Nuno Crato. «O que mais surpreende no mecanismo de Antiquítera é a precisão com que foi obtido o rácio entre períodos lunares e períodos solares. A desmultiplicação foi conseguida por seis rodas dentadas, nas relações 64 / 38 x 48 / 24 x 127 / 32, que obtêm o rácio 254 / 19 = 13,36842... Um resultado certo até à terceira casa decimal!»

Aparelho de Antiquítera

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Rodas Dentadas

«Quem observar o interior de um relógio mecânico não pode deixar de se maravilhar com as numerosas rodas dentadas que se encontram no aparelho. Essas rodas desmultiplicam o movimento, assegurando que os ponteiros rodem à velocidade certa. Transformam as oscilações da fonte de energia interna, habitualmente com período de um segundo, em ciclos de uma hora para o ponteiro dos minutos e de meio dia para o das horas.

Para conseguir esta conversão, poder-se-ia construir uma roda com um dente apenas e acoplá-la à fonte, que faria rodar essa roda uma vez por segundo. Depois podia-se encaixar essa roda numa outra com 3600 dentes. Cada vez que a primeira fizesse uma rotação completa, a segunda avançaria um dos seus 3600 dentes. Após 3600 rotações da primeira roda, ou seja, após uma hora, a segunda roda faria uma rotação completa. Essa segunda peça poderia pois estar acoplada ao ponteiro dos minutos.

As rodas dentadas apenas com um dente, no entanto, seriam muito instáveis e frágeis, tal como as rodas de 3600 dentes seriam demasiado grandes. Os construtores preferem utilizar uma sequência de rodas que transmitem o movimento inicial de uma para a seguinte, reduzindo sucessivamente os períodos de rotação. Montam-se duas rodas dentadas em cada eixo, de forma que um eixo recebe o movimento de uma roda e arrasta a outra, que engata numa terceira, num segundo eixo, e assim sucessivamente. A desmultiplicação final resulta do produto das desmultiplicações efectuadas em cada passo. Para obter o pretendido rácio 3600 / 1, pode haver uma série de passos, por exemplo, 36 / 10 x 50 / 10 x 20 / 5 x 10 / 5 x 25 / 10 x 100 / 10, em que o primeiro número de cada fracção representa o número de dentes de uma roda e o segundo o número de dentes da roda de outro eixo com que a primeira engata.

Como é óbvio, há muitas soluções possíveis. A arte está em construir uma sequência óptima de rodas dentadas, nem muito grandes nem muito pequenas, que obtenha a desmultiplicação pretendida.

No século XVIII encontraram-se algoritmos matemáticos para resolver iterativamente o problema. No essencial, esses algoritmos factorizam o numerador e o denominador da fracção pretendida, isto é, escrevem cada um dos dois números como um produto de números primos. Assim, por exemplo, se quisermos obter o rácio 28 / 45, escrevemo-lo (2 x 2 x 7) / (3 x 3 x 5) e procuramos diversos agrupamentos. Neste caso, (2 x 7) / 3 x 3) x 2 / 5, ou seja, 14 / 9 x 2 / 5, é uma das soluções possíveis para quem quiser usar quatro rodas dentadas.

O problema torna-se mais complicado quando é inviável ou impossível obter o rácio exacto e apenas se podem obter aproximações. Se o rácio for por exemplo, 997 / 1999, tanto o numerador como o denominador são números primos e a solução exacta mais simples consiste na construção de uma roda com 997 dentes e de outra com 1999, o que não parece viável. Mas a aproximação 1 / 2 ou 10 / 20, por exemplo, é bastante razoável neste caso, pois 997 / 1999 = 0,498... E sabe-se que qualquer que seja o rácio pretendido é sempre possível aproximá-lo com a precisão que se quiser, usando sistemas de rodas dentadas mais simples. O problema, no entanto, pode ser muito trabalhoso e só no século XX apareceram algoritmos eficientes Para obter sistemas que dêem boas aproximações.

Cortesia de wikipedia e jdact

Até há algumas décadas pensava-se que o domínio de todas estas técnicas só tinha sido conseguido muito tarde. Mas, em 1901, a descoberta fortuita de um mecanismo, no fundo do mar, perto da ilha grega de Antiquítera, veio mudar essa ideia. O aparelho que se encontrou estava muito deteriorado e foram necessários muitos estudos para o interpretar. Em 1974, finalmente, o historiador da ciência Derek De Solla Price (1922-1983), de Yale, conseguiu perceber o seu funcionamento. Verificou que era nada mais nada menos do que uma máquina destinada a reproduzir o movimento aparente do Sol e da Lua, incluindo as mudanças de fase do nosso satélite.

Hoje esses aparelhos chamam-se habitualmente planetários. Rareiam, pois são peças mecânicas muito custosas. No seu cerne está precisamente um sistema de rodas dentadas que permite mover as esferas que representam cada astro. Em Lisboa, quem quiser ver um destes aparelhos pode fazê--lo no Planetário Gulbenkian.

O que mais surpreende no mecanismo de Antiquítera é a precisão com que foi obtido o rácio entre períodos lunares e períodos solares. A desmultiplicação foi conseguida por seis rodas dentadas, nas relações 64 / 38 x 48 / 24 x 127 / 32, que obtêm o rácio 254 / 19 = 13,36842... Um resultado certo até à terceira casa decimal!

Até há pouco, o aparelho de Antiquítera maravilhava apenas os matemáticos, os astrónomos e os historiadores. Recentemente, John Gleave, um artífice inglês reconstruiu o instrumento antigo. Funciona e obtém a precisão desejada. Quem seria o misterioso sábio grego que há dois mil anos construiu o original?»

In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Temas de Matemática, 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de Gradiva/JDACT

Passeio Aleatório. Pela Ciência do Dia-a-Dia. Nuno Crato. «O exercício do cálculo mental e a memorização, nomeadamente da tabuada, ajudam a desenvolver regiões do próprio cérebro e capacitam os jovens para outras actividades. Há uma janela de oportunidade para essa aprendizagem…»

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A Tabuada e a Máquina de Calcular

«Num conto magnífico incluído na colecção ‘Nove Amanhãs’, Isaac Asimov (1920-1992) imagina uma civilização do futuro que se tinha esquecido da tabuada e dos algoritmos das quatro operações. Apenas as máquinas conseguiam fazer contas. Os seres humanos tinham de as usar para todos os cálculos, mesmo os mais elementares.

Ninguém se interrogava sobre o que as calculadoras faziam. Mas a certa altura aparece um jovem técnico que começa a ficar curioso. Repara em certas regularidades e constrói uma tabuada. Pouco a pouco, percebe o mecanismo das operações e começa a fazer contas. Afirma com toda a confiança:

• Três vezes sete, vinte e um... quatro vezes oito, trinta e dois...

Os amigos duvidam e vão verificar os resultados com a máquina. Dá certo! Dá sempre certo! ‘Soma agora 23 com 48! Dá 71! E não é que dá mesmo!?...’

A história foi escrita em 1958 e parece premonitória.

De facto, há hoje muitos jovens estudantes que sacam das máquinas para resolver as operações mais elementares. Habituaram-se a isso quando estavam na escola e já não o sabem fazer de outra maneira. Ora fazer contas mentalmente é muito útil no dia-a-dia. Serve para comparar preços no supermercado, fazer trocos, medir o tempo, deitar contas à vida...

Mas há mais. O exercício do cálculo mental e a memorização, nomeadamente da tabuada, ajudam a desenvolver regiões do próprio cérebro e capacitam os jovens para outras actividades. Há uma janela de oportunidade para essa aprendizagem. Privá-los desse treino em tenra idade é limitá-los no seu desenvolvimento intelectual futuro.

É o que se está a passar com muitos jovens. E a culpa não é deles. Com o pretexto da "aprendizagem significativa” atacaram-se os "vícios da memorização”, mas errou-se o alvo. Leia-se o programa de Matemática do 1.º ciclo aprovado em 1990. Diz-se aí que a "máquina de calcular não pode deixar de ter lugar no 1.º Ciclo" (jovens dos 6 aos 10 anos). Fala-se nos "cálculos obtidos, utilizando algoritmos ou a máquina de calcular" e depois diz-se que na sala de aula "o professor permitirá que cada criança utilize, com liberdade, o que lhe for mais conveniente”. Ou seja, diz-se que o professor não pode impedir uma criança de 6 a 1.0 anos de usar a calculadora sempre que ela o queira fazer.

Felizmente, a maioria dos professores tem mais bom senso que os teóricos da pedagogia romântica e percebe bem esta verdade simples: permitir ao aluno o uso da máquina de calcular sempre que o queira é caminho certo para o impedir de desenvolver o cálculo mental.

Dito tudo isto, é preciso acrescentar que a calculadora devia ser mais usada no ensino secundário. Sobretudo, mais bem usada. Nessa altura começam a aparecer frequentemente contas muito difíceis, impossíveis de resolver manualmente. É preciso conhecer melhor a máquina de calcular para poder enfrentar esses novos desafios. Mas há muitos alunos que chegam à universidade sem saber calcular exponenciais, logaritmos ou tangentes, pois nunca perceberam as correspondentes funções das suas máquinas. É triste, mas por vezes parece que andamos a fazer as coisas ao contrário». In Nuno Crato, Passeio Aleatório, pela Ciência do Dia-a-Dia, Gradiva, Ciência Aberta, 2009, ISBN 978-989-616-216-0.

Cortesia de Gradiva/JDACT

Passeio Aleatório. Pela Ciência do Dia-a-Dia. Nuno Crato. «… a probabilidade de ocorrer um desastre varia sobretudo com o número de escalas e não com a duração do voo, mas é necessário calcular a extensão média de cada voo para estabelecer comparações com a mesma distância numa viagem de automóvel»

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Os Aviões e os Sapos

«Todos temos comportamentos irracionais. Há quem tenha medo de sapos e de outros animais inofensivos, mas sonhe ser um grande caçador de leões. E há quem tenha receio de entrar num avião, mas acelere acima do razoável nas auto-estradas. A verdade é que o voo continua a ser um meio de transporte muito mais seguro do que o automóvel, mesmo após os abalos causados pelo 11 de Setembro.

Michael Sivak e Michael Flamagan, da Universidade de Michigan, fizeram um estudo comparativo resumido no ‘American Scientist’. Compararam as fatalidades rodoviárias e da aviação no período entre 1992 e 2001. Seleccionaram os voos das dez maiores companhias norte-americanas, calcularam as distâncias totais e o número de mortes. Escolheram depois estatísticas de viagens em auto-estrada, que, apesar de tudo, são mais seguras que as viagens urbanas. E seleccionaram apenas os óbitos de condutores.

Para estudar os riscos de voo, é preciso distinguir os voos simples dos voos com várias paragens, pois os problemas concentram-se na descolagem e na aterragem. É nessas alturas que ocorrem 95% dos desastres fatais. Por isso, a probabilidade de ocorrer um desastre varia sobretudo com o número de escalas e não com a duração do voo, mas é necessário calcular a extensão média de cada voo para estabelecer comparações com a mesma distância numa viagem de automóvel.

Feitas as contas para um voo simples médio (1157 km), o risco de fatalidade aérea é de 78,6 em mil milhões, enquanto o risco equivalente numa viagem de carro é de 5091 em mil milhões. Ou seja, conduzir é cerca de 65 vezes mais perigoso do que voar.

Estes números incluem já as tragédias de 11 de Setembro. Mas o futuro é impossível de prever, pelo que faz sentido inquirir o que acontecerá se o terrorismo aéreo aumentar. Mesmo assim, os números são relativamente tranquilizantes, se é que se pode usar essa palavra: para ser tão arriscado viajar de avião como de automóvel, teria de haver desastres semelhantes aos de 11 de Setembro 120 vezes no período de dez anos considerado, ou seja, ao ritmo de um por mês.

Se estas comparações são um pouco cruas, fiquemos com um número simples: o risco de desastre aéreo num voo com uma escala é equivalente ao de conduzir quatro minutos numa auto-estrada». In Nuno Crato, Passeio Aleatório, pela Ciência do Dia-a-Dia, Gradiva, Ciência Aberta, 2009, ISBN 978-989-616-216-0.

Cortesia de Gradiva/JDACT

Passeio Aleatório. Pela Ciência do Dia-a-Dia. Nuno Crato. «Pode imaginar-se, por exemplo, que os gatos são todos medricas, com excepção de um deles que é valentão e se dedica à caça enquanto os outros ficam a cercar as presas. Sendo assim, foram necessários sete gatos para cercar os sete ratos, antes de o felino mais assassino iniciar a mortandade»

Cortesia de noticiasuol e jdact

«Se sete gatos caçam sete ratos em sete minutos, pergunta-se: quantos gatos são precisos para caçar 70 ratos em 70 minutos?

O problema não é novo. Numa forma ligeiramente diferente, foi discutido pelo matemático Charles Dodgson (1832-18 9I ), mais conhecido por Lewis Carroll, pseudónimo com que assinou “Alice no País das Maravilhas”. Nas mãos deste poeta da lógica, a charada transformava-se numa história divertida.

O curioso é que a resolução do enigma tanto pode ser de uma facilidade infantil como revelar-se de uma dificuldade desesperante. Tudo depende do ângulo que se adopte. Pense um pouco antes de prosseguir. Se continuar já a ler, a questão perderá metade da piada. Pense pois na solução.

Já pensou? Chegou à conclusão de que são precisos 70 gatos? Ou basta um? Ou dez? Ou os mesmos sete? Há algo indefinido nos pressupostos deste problema, mas o mais óbvio é pensar em caçadas independentes:

• cada gato se atira a um rato. Então, se sete gatos caçam sete ratos em sete minutos, os mesmos sete gatos, em dez vezes esse tempo (70 minutos), caçarão dez vezes o número de ratos (70 ratos). Ou seja, a resposta é sete. Sete gatos!

Vistas as coisas desta maneira, a solução é simples, mas há quem comece de outra forma e enverede por caminhos traiçoeiros. Há, por exemplo, quem conclua que cada gato demora um minuto a caçar um rato, de onde depreenda que são necessários 70 gatos para caçar os 70 ratos em 70 minutos... E há quem faça uma proporção com o tempo e opine que são necessários dez gatos. Na realidade, é fácil ficar confundido.

A questão pode ser estimulante como exercício mental, mas é duvidoso que tenha interesse pedagógico para jovens de 12 anos se for apresentada isoladamente...

Muitas vezes, com a intenção de levar os alunos a pensar, apresentam-lhes problemas pouco definidos e que pouco têm a ver com as matérias que estão a ser dadas. Com essas práticas pedagógicas, o aluno vê uma oposição entre o que estuda, neste caso regras de proporcionalidade, e problemas mais avançados, que lhe aparecem como puras charadas. Não é assim que se ajuda os jovens a aprender a pensar.

Opondo raciocínio ao estudo, as duas actividades surgem como etapas desligadas e os jovens ficam confundidos. Ajudá-los a pensar implica a insistência em padrões de raciocínio, implica partir de exemplos simples e torná-los progressivamente mais complexos. Implica trabalhar exercícios elementares até que a sua solução se torne evidente. A partir daí, podem-se questionar os fundamentos dos problemas e podem-se arranjar contra-exemplos. Mas é sempre preciso começar por dominar as regras. Opor a mecanização ao raciocínio prejudica tanto uma coisa como outra.

O enigma dos gatos e ratos, contudo, não está acabado. Se questionarmos a maneira como os gatos organizam as suas caçadas, começamos a ver muitas soluções diferentes. Pode imaginar-se, por exemplo, que os gatos são todos medricas, com excepção de um deles que é valentão e se dedica à caça enquanto os outros ficam a cercar as presas. Sendo assim, foram necessários sete gatos para cercar os sete ratos, antes de o felino mais assassino iniciar a mortandade. Então, sendo necessário um gato para cada rato, são sempre necessários 70 felinos para caçar 70 roedores.

Se o aluno der esta resposta, que poderá dizer o professor? Os problemas incompletos, com pressupostos escondidos, podem servir para uma boa conversa, mas têm sempre inconvenientes pedagógicos». In Nuno Crato, Passeio Aleatório, pela Ciência do Dia-a-Dia, Gradiva, Ciência Aberta, 6ª edição, 2009, ISBN 978-989-616-216-0.

Cortesia de Gradiva/JDACT

A Matemática das Coisas. Coisas do dia-a-dia. Nuno Crato. Atacadores e Gravatas. Parte 2. «As coisas complicam-se quando o número de movimentos aumenta. Entre os de oito passos destaca-se o Windsor que o respectivo duque não praticava, mas é muito usado quando se pretende engrossar o nó»

Nó Windsor

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Atacadores e Gravatas

«Admitiu que se queria maximizar a segurança da ligação e minimizar o comprimento dos atacadores. Comparando os três sistemas acima considerados, verifica-se que o mais económico é sempre o americano, dependendo o seguinte do número de ilhós. Para quatro pares de ilhós ou mais, o europeu bate o de fábrica. Para três pares, são equivalentes. Para um ou dois pares, o problema é trivial, pois os três sistemas coincidem. Tente o leitor verificá-lo e verá que não é difícil.

Polster, contudo, não se limitou a estudar estes três sistemas. Analisou o problema de forma geral, tendo apenas em conta as restrições acima apontadas. Descobriu que o sistema mais económico não é nenhum dos habituais. Encontrou uma disposição pouco comum a que chamou lacinho (“bowtie”).

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Considerando depois a segurança do aperto, não encontrou nenhum sistema esotérico, o que é reconfortante. Os processos americano e de fábrica são afinal os melhores.

Enquanto as fileiras de ilhós estiverem afastadas, o sistema de fábrica é o mais forte. Quando as fileiras estiverem próximas, o americano é preferível.

No seu tratamento matemático dos atacadores, Polster inspirou-se num trabalho igualmente curioso que os físicos computacionais Thomas Fink e Yong Mao publicaram há já alguns anos. Trata-se das formas de dar o nó da gravata, tema que deu origem a um livro que escreveram em 1999 e cuja tradução foi publicada pela D. Quixote:

•  “As 85 Maneiras de Dar um Nó de Gravata”.

Nesse estudo, que começa por fazer uma curta história da gravata e explica depois brevemente a teoria matemática dos nós, os dois físicos procuram todos os nós de gravata possíveis, mas são obrigados a restringir-se àqueles que podem ser dados com menos de dez movimentos. Mesmo assim, encontram 85 formas de dar o nó. A mais simples implica apenas três movimentos. Começa por se colocar a gravata do avesso e esse número ímpar de voltas permite que a parte da frente fique direita, como é de bom tom.

Trata-se do chamado nó oriental, pouco usado em gravatas ocidentais. Logo em seguida aparece o nó com quatro movimentos, que é o mais habitual. As coisas complicam-se quando o número de movimentos aumenta. Entre os de oito passos destaca-se o Windsor que o respectivo duque não praticava, mas é muito usado quando se pretende engrossar o nó. Aparecem muitos outros, e talvez algum deles venha a estar na moda. A matemática, no entanto, estará sempre presente». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Sociedade Portuguesa de Matemática, Abril 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

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A Matemática das Coisas. Coisas do dia-a-dia. Nuno Crato. Atacadores e Gravatas. Parte 1. «A questão é surpreendente. Para a maioria das pessoas há apenas uma maneira aceitável de colocar os atacadores. A realidade, contudo, é que em culturas diferentes se colocam os atacadores de maneiras distintas»

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Atacadores e Gravatas

«Não há problemas de que os matemáticos gostem mais do que os realistas e simples de formular. Muitas vezes são esses os mais difíceis, e por isso mesmo mais interessantes.

Daí a paixão por questões aparentemente triviais, como a melhor forma de poupar os cordões dos sapatos!

As disposições possíveis dos atacadores tinham sido já estudadas pelo matemático John Halton que as tinha considerado como casos particulares do célebre problema do caixeiro viajante. Trata-se de um problema matemático difícil, inspirado numa situação bem real: um caixeiro quer passar por um número fixo de cidades, visitando-as todas apenas uma vez e tendo fixada a cidade de partida e a de chegada. O enfiamento de um atacador seria, afinal, o percurso de um caixeiro, sendo as ilhós, as casas onde os cordões se enfiam, equivalentes a cidades. Poupar nos atacadores seria equivalente a encontrar o percurso mais curto entre todas as cidades.

O problema foi abordado de novo pelo matemático australiano Burkard Polster e mereceu publicação na “Nature”, uma das revistas científicas mais prestigiadas de todo o mundo. Polster estudou sistematicamente as formas de enfiar os atacadores nos sapatos.

A questão é surpreendente. Para a maioria das pessoas há apenas uma maneira aceitável de colocar os atacadores. A realidade, contudo, é que em culturas diferentes se colocam os atacadores de maneiras distintas. Há o sistema americano e o sistema europeu, para dar apenas o exemplo dos procedimentos mais usuais. No primeiro caso, os atacadores são enfiados em ziguezagues complementares, aparecendo cruzados do lado de fora. No segundo, são colocados em ziguezagues alternados, de forma que, pela frente, as ilhós dos sapatos aparecem juntas por segmentos horizontais dos atacadores. Há ainda o sistema de fábrica, em que os atacadores fazem um ziguezague contínuo de alto a baixo e depois retornam acima em diagonal. Qual será o mais eficiente?

A primeira coisa curiosa é que há um número astronómico de opções. Para os sapatos com duas fileiras de cinco ilhós cada, Polster verificou existirem 51 840 maneiras diferentes de enfiar os atacadores. Esse número cresce para os milhões quando o número de ilhós aumenta.

Polster restringiu-se então a processos de colocar os atacadores que preenchessem necessariamente todas as ilhós e permitissem puxá-los esticando-as todas, isto implica, por exemplo, que não se podem passar os atacadores por três casas sucessivas do mesmo lado, pois isso não esticaria individualmente a casa do meio. Depois definiu critérios de eficiência». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Sociedade Portuguesa de Matemática, Abril 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de Gradiva/JDACT

A Matemática das Coisas. Nuno Crato. Coisas do dia-a-dia. «Dizia Eubúlides que um monte (uma duna) não se faz com um grão de areia, nem com dois, nem com cem. E que, se tivermos um grupo de grãos de areia que não é ainda um monte, não é juntando mais um grão que o obtemos. Sendo assim, juntando ainda outro grão continuamos sem um monte»

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Eubúlides, sorites e o euro

«As moedas europeias estão em circulação há tempo mais que suficiente para todos se terem habituado a reconhecê-las. Mas há muita gente que ainda as confunde. Há quem tenha dificuldade em distinguir as moedas de dois cêntimos das de cinco. E quem confunda as de 10 com as de 20, ou estas últimas com as de 50. Será culpa nossa ou de quem concebeu o sistema?

Os criadores do euro decidiram fazer as moedas de tamanho ligeiramente crescente com o seu valor. Assim, por exemplo, as de 20 cêntimos são um pouco maiores que as de 10, e as de 50 um pouco maiores que as de 20. E estas são todas construídas na mesma liga. Parece um sistema racional, mas o resultado não é o melhor.

Antigamente ninguém confundia a moeda de 50 escudos com a de 100, apesar de esta última ser mais pequena que a de 50. A lógica do tamanho crescente com o valor era aqui invertida. E estas duas moedas eram de ligas e modelos diferentes, o que evitava qualquer confusão. O princípio é seguido noutras moedas, nomeadamente nas norte-americanas. Também neste último caso, não há uma ordenação de tamanho pelo valor crescente e as diferentes ligas encontram-se salteadas, o que ajuda a distinguir as moedas. No euro, pelo contrário, as ligas agrupam moedas de valores e tamanhos adjacentes, o que não ajuda a distingui-las.

O caso relembra o “paradoxo de sorites”, formulado há mais de 23 séculos pelo filósofo grego Eubúlides. Esse contemporâneo de Aristóteles nasceu em Mileto e viveu em Mégara, onde liderou a escola filosófica do mesmo nome. Entre outros paradoxos célebres criou o de “sorites”, palavra grega que significa amontoador derivado de ‘soros’, que significa monte. Dizia Eubúlides que um monte (uma duna) não se faz com um grão de areia, nem com dois, nem com cem. E que, se tivermos um grupo de grãos de areia que não é ainda um monte, não é juntando mais um grão que o obtemos. Sendo assim, juntando ainda outro grão continuamos sem um monte. Mas isso significa, por indução, que nunca teremos um monte de areia, por mais grãos que juntemos...

No século XX, o paradoxo foi revisitado por vários filósofos, lógicos e matemáticos, desde Frege (1848-1925) e Russell (1872-1970) até a alguns lógicos contemporâneos. Uma súmula excelente do assunto encontra-se na Enciclopédia de Termos Filosóficos organizada por João Branquinho e Desidério Murcho. Um tratamento mais completo encontra-se na monografia “Vagueness”, de Williamson.

Cortesia de wikipedia

Propuseram-se várias soluções para o paradoxo. Uma via de raciocínio afirma que existem predicados vagos, tais como ‘monte de areia’, havendo uma zona de indefinição entre o que é monte e o que ainda não o é. Mas nesse caso seria necessário eliminar predicados vagos de qualquer raciocínio lógico rigoroso. A linguagem comum seria irremediavelmente paradoxal, como concluía Frege.

Outra solução consiste em negar a validade do raciocínio indutivo adoptando, por exemplo, uma lógica difusa, ‘fuzzy’, e considerando graus de verdade intermédios nas proposições. Outra solução ainda será considerar o problema como apenas uma questão de percepção. Tal como acontece com os amontoados de areia semelhantes, confundimos as moedas de 10 cêntimos com as de 20 e estas com as de 50. E, tal como acontece quando comparamos um simples molho de grãos de areia com uma duna, distinguimos perfeitamente as moedas de 10 das de 50.

Em teoria económica o problema é igualmente importante. Para construir as chamadas curvas de indiferença, por exemplo, em combinações de bens que o consumidor considere equivalentes, encontram-se problemas práticos difíceis.

O leitor, se for comprar um carro, vê alguma diferença de preço entre um que custe quinze mil euros e outro que custe quinze mil e um? É pouco provável. Mas tome cuidado, que os vendedores parecem ter estudado a “filosofia de Eubúlides”. Como não distinguimos quinze mil de quinze mil e um, nem quinze mil e um de quinze mil e dois... sem saber como, acabamos por sair do ‘stand’ com um carro muito bem equipado, mas também com uma despesa com que não contávamos». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Sociedade Portuguesa de Matemática, Abril 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de Gradiva/JDACT

Nuno Crato. O “Eduquês” em Discurso Directo: «Fico relativamente surpreso quando se diz que um ensino assente em competências não é susceptível de ter avaliação externa [...]. A chamada avaliação externa tanto avalia competências como avalia conhecimentos, tudo depende de se saber como se faz a avaliação»

Cortesia de wikipedia

A polémica dos exames

«Os exames, como todos os processos de avaliação e divulgação da avaliação, constituíram um dos tópicos de mais aceso debate dos últimos anos. A polémica reacendeu-se em 2003, em torno da decisão do Ministro … de instituir exames finais a Matemática e Português no 9º ano de escolaridade, rompendo com a prática de muitos anos de deixar os estudantes concluírem todo o ensino obrigatório sem um único exame nacional. A Ministra do mesmo partido que lhe sucedeu, …, decidiu avançar com esses exames, atribuindo-lhes apenas a ponderação de 25% na nota final dos alunos, com a restante parcela da nota a ser determinada pela avaliação feita pela escola.

Como foi destacado pela imprensa diária, a Sociedade Portuguesa de Matemática foi a única agremiação que na altura se pronunciou publicamente a favor da realização dos exames, as associações de professores, os sindicatos e as associações de pais pronunciaram-se contra esta decisão. Pouco depois, quando o governo do … caiu, muitos reacenderam as esperanças de que esses exames seriam anulados. Mas em Abril de 2005, a Ministra da Educação e o Primeiro-Ministro do então recente governo do … tornaram claro que iriam manter a decisão do anterior governo.

Este enquadramento é necessário para perceber que os exames de 2005, devido à sua diminuta ponderação, iriam ter, como de facto tiveram, um impacto mínimo no processo escolar dos estudantes. A oposição aos exames foi pois uma oposição de princípio e ideológica, como se torna claro pela leitura das intervenções na polémica.

Alguns argumentos são tão incongruentes que é difícil considerá-los seriamente. O mais frequente tem sido o seguinte:

• - Não são os exames, e sim a qualidade de ensino, aquilo que pode garantir a aprendizagem.

O argumento tem tanto sentido como dizer que o médico não deve indicar análises clínicas aos doentes, pois não são as análises e sim os tratamentos que conduzem à cura.

Cortesia de wikipedia

No entanto, há quem o avance:

• mais do que a avaliação sumativa externa, é o reforço da qualidade das práticas de ensino e de aprendizagem que pode garantir adequados níveis de desempenho por parte dos alunos.

Em nossa opinião, os argumentos mais coerentes dos oponentes aos exames reduzem-se a dois:

• - A reprovação não ajuda os alunos a progredir, ou seja, a retenção não se traduz mais tarde num acréscimo de conhecimentos dos alunos, pelo que falharia os seus objectivos;
• - Os exames não conseguem avaliar todas as ‘competências’ que se pretende desenvolver nos alunos, privilegiando os aspectos de memorização e mecanização, pelo que prejudicariam o desenvolvimento das ‘competências’ desejadas, que incluem a capacidade de aplicar conhecimentos, a expressão oral e o raciocínio, entre outros.

Há uma parcela de verdade nestes argumentos, mas são argumentos incompletos e tendenciosos. Em primeiro lugar, os exames estabelecem metas e, por isso, podem incentivar os alunos a lutar para ultrapassar essas metas. Nesse sentido, opõem-se à repetência. Mas mesmo que assim não fosse, o facto de a retenção não ter um efeito positivo sobre o percurso escolar do aluno significa que tem necessariamente um efeito negativo? Na realidade, os exames podem exercer uma influência positiva nos estudantes no seu conjunto, mesmo que haja excepções.

Além disso, os exames podem ser orientadores de percursos escolares, levando, por exemplo, a encaminhar estudantes com dificuldades para vias alternativas, com o mesmo ou com outro término escolar.

Cortesia de wipipedia

Em segundo lugar, uma coisa é a listagem das insuficiências dos exames, outra a justificação do seu abandono. É essa ligação que nunca é feita pelos críticos da avaliação externa. Em terceiro lugar, é necessário considerar a realidade portuguesa, os alunos, os professores e a cultura social predominante, que se reflecte obviamente na escola. Enquanto noutras sociedades e noutras situações se podem abolir exames nacionais, que são substituídos por outros sistemas de avaliação credíveis, não necessariamente menos exigentes, em Portugal e em 2005 parecem ser imprescindíveis “juízes de fora”, ou seja, sistemas de avaliação externos à escola.

Finalmente, os exames podem ser bem feitos ou mal feitos. Podem privilegiar a memorização ou podem privilegiar o raciocínio. Podem dirigir-se à solução mecânica de exercícios ou podem dirigir-se à aplicação criativa de técnicas e conceitos. Ideia semelhante foi expressa a certa altura pelo então Ministro … :

• Fico relativamente surpreso quando se diz que um ensino assente em competências não é susceptível de ter avaliação externa [...]. A chamada avaliação externa tanto avalia competências como avalia conhecimentos, tudo depende de se saber como se faz a avaliação.

Concordamos, em geral, com este argumento, mas pensamos que a actual apresentação da noção de competências, bem como as suas formulações vagas, confusas e contraditórias, nem sempre permitem uma avaliação objectiva. Por vezes, as ‘competências’ são tão vazias que não podem ser avaliadas, mas também nesse caso não podem servir para orientar o estudo. Ou seja, indo mais longe pode pôr-se em causa a própria nova teoria e prática das competências». In Nuno Crato, O “Eduquês” em Discurso Directo, Uma Crítica da Pedagogia Romântica e Construtivista, Gradiva 2006, ISBN 978-989-616-094-4.

Continua

Cortesia de Gradiva/JDACT

Passeio Aleatório. Pela Ciência do Dia-a-Dia. Nuno Crato. «Não se sabe se “pi” é normal, mas até hoje tem passado todos os testes. Claro que é impossível conhecer todas as ocorrências de dígitos e de agrupamentos de dígitos, pois pi tem um número infinito de algarismos. Mas conhecem-se já cerca de um milhão de milhões dos seus dígitos…»

Cortesia de gradiva

A Altura do Rei

«A frustrada tentativa de analisar o túmulo de D. Afonso Henriques (c. 1109-1185) causou celeuma. Entre outras coisas, a antropóloga Eugénia Cunha e os seus colegas da Universidade de Coimbra pretendiam medir a altura do fundador da nacionalidade. Um simples número não será decisivo para rescrever a história, mas é um dado em falta que pode esclarecer outros e levantar novas interrogações.

Está-se a falar das ossadas de um rei que nasceu há quase nove séculos e cujos restos mortais tudo leva a crer estarem perfeitamente localizados. Mais surpreendente, porém, será conseguir medir a altura de um outro homem, que nasceu 18 séculos antes do nosso rei e cuja sepultura se desconhece. Mas isso é possível, pois esse homem era um geómetra. É considerado o fundador da filosofia e da ciência. Falamos de Tales de Mileto (624-547 a. C.), é claro. Quem mais poderia ser? pois esse homem, um dia, em viagem pelo Egipto, ficou surpreendido com a altura da Grande Pirâmide de Queóps. Pensou numa maneira de a medir sem sair do chão. Aplicando um teorema que depois levou o seu nome) notou que a razão entre a altura da pirâmide e a sua sombra era a mesma que a razão entre a sua própria altura e a da sua sombra. Mediu as sombras, fez as contas e chegou à conclusão de que a pirâmide media 85 vezes a sua altura. Foi um feito que surpreendeu os seus contemporâneos e que ainda hoje é recordado. Para o que nos interessa, contudo, é preciso caminhar em sentido contrário. Sabemos hoje que a pirâmide de Queóps mede 147 metros. De onde concluímos que Tales media 1,73 metros. Nada mais simples! Fosse D. Afonso Henriques um geómetra e talvez pudéssemos conhecer a sua altura sem lhe abrir o túmulo.

Cortesia de misterteacher

Os dígitos de “Pi”

O número pi é uma caixinha de surpresas. Na escola aprende-se a aproximação 3,14, mas esses três dígitos são apenas o começo. “Pi” começa com os algarismos 3,1415926535... mas nunca pára. Conhecer todos os dígitos da representação decimal de “Pi” é impossível, de forma que o capitão Kirk, num dos episódios da série ‘Star Trek’, consegue paralisar uma entidade malévola instalada no seu computador mandando-o calcular “Pi” até ao último dígito. Que bom que seria livrarmo-nos dos vírus seguindo essa táctica...

Um dos mais interessantes mistérios de “Pi” é a distribuição dos seus dígitos. Imagina-se, mas ninguém ainda conseguiu prová-lo, que se distribuem de forma completamente uniforme. Em termos técnicos, imagina-se pois que “Pi” é o que se chama um “número normal”. Isso quer dizer, por exemplo, que a frequência com que o algarismo 1 aparece na representação decimal de “Pi” é igual à frequência com que o algarismo 2 aparece, e assim por diante, sendo pois todas essas frequências iguais a 1/10. Mas ser normal significa muito mais do que isso. Significa também que qualquer par de dígitos, por exemplo, «97», aparece com a mesma frequência de qualquer outro par, por exemplo «03». E que o mesmo se passa com qualquer triplo, e com qualquer quádruplo, e assim por diante. E significa ainda que o mesmo acontece se se escrever “Pi” em qualquer outra base numérica.

Não se sabe se “Pi” é normal, mas até hoje tem passado todos os testes. Claro que é impossível conhecer todas as ocorrências de dígitos e de agrupamentos de dígitos, pois pi tem um número infinito de algarismos. Mas conhecem-se já cerca de um milhão de milhões dos seus dígitos, e podem fazer-se estudos estatísticos bastante rigorosos.

Como os dígitos de “Pi” parecem ser uniformemente distribuídos e sem regra evidente de sequência, podem ser tomados como números aleatórios. Claro que não o são, pois seguem-se um a um de forma definida.

Cortesia de edweek

Seguem a ordem 3,141592..., e não uma outra qualquer. Mas podem ser considerados aleatórios, pois não sabendo de onde vêm os números tudo se passa como se fossem gerados ao acaso. Serão aquilo a que se convencionou chamar “números pseudo-aleatórios”. Há processos de geração deste tipo de números em aplicações comerciais conhecidas, como o Excel, por exemplo.

Assim, quando se escreve «=RAND( )» numa célula, o programa insere nela um número pseudo-aleatório. Escrevendo o mesmo noutra célula, aparecerá outro número pseudo-aleatório.

No entanto, uma equipa da Universidade Purdue, nos Estados Unidos, fez novos testes e mostrou que os dígitos conhecidos de “Pi” não se comportam exactamente dessa maneira. Os investigadores de Purdue, compararam a sequência de dígitos de “Pi” com outras dadas por algoritmos de geração de números aleatórios. Chegaram à conclusão de que os métodos artificiais de geração do acaso fornecem sucessões de números que se comportam melhor que as fornecidas por “Pi”.

Não se sabe ainda o que isso significa, para além de uma recomendação para evitar o uso dos dígitos de “Pi” em situações delicadas. Em criptografia, por exemplo, ou em simulação numérica rigorosa, parece ser melhor usar outros números pseudo-aleatórios. Mas pode acontecer que este resultado de Fischbach diga algo sobre “Pi”, embora seja mais provável que diga mais sobre os algoritmos usados em computação. Estes foram tão bem concebidos que parecem melhores que os dados pelo fabuloso “Pi”». In Nuno Crato, Passeio Aleatório, pela Ciência do Dia-a-Dia, Gradiva, Ciência Aberta, 6ª edição, 2009, ISBN 978-989-616-216-0.

Cortesia de Gradiva/JDACT

A outra faixa vai sempre mais depressa. Nuno Crato. «Quando ultrapassamos os carros de outra fila, isso acontece porque esses estão parados ou a andar mais devagar. Nessas alturas estão mais compactados, com menos espaço entre cada viatura, pelo que rapidamente ultrapassamos muitos carros»

Cortesia de aalmaemcoisas

«O João e a Joana saíram de casa pelas oito e atravessaram o rio para chegar ao escritório onde ambos trabalham, em Lisboa. As filas começavam muito antes da ponte, e a Joana conduzia calmamente pela faixa da direita. O João, que vinha atrás dela, mudou para a faixa da esquerda e ultrapassou-a. Mais à frente, a sua faixa parou e o João viu os carros da faixa da direita a ultrapassarem-no. Numa manobra brusca, aproveitou uma aberta e mudou-se de novo para a faixa da direita. Azar! Nesse momento essa faixa Parou de novo.

Esperou um pouco, impotente, até que se abriu uma nova possibilidade de mudar de faixa. Com uma manobra ainda mais arriscada que a anterior mudou-se outra vez para a faixa da esquerda e pareceu-lhe ter ganho terreno. Mas o trânsito parou de novo e a cena repetiu-se. A Joana continuou sempre calmamente na faixa da direita. Passado bastante tempo, depois de múltiplas manobras furiosas, o João sobreviveu ao perigo e chegou ao trabalho. Chegou a horas, pensando que o esforço valera a pena. Mas olhou para o lado e viu que a Joana já tinha arrumado o seu carro e estava a entrar no edifício...

De uma forma ou de outra, todos os condutores passaram já por experiências semelhantes. É paradoxal, mas a faixa do lado parece sempre ir mais depressa. No entanto, mal nos deslocamos para ela, parece que era a outra faixa, afinal, que andava mais. Os que mudam constantemente de posição põem em risco a sua segurança e a dos outros, mas acabam, em média, por não conseguir andar mais depressa.

O problema é intrigante. De tal forma que dois estatísticos resolveram estudá-lo, utilizando um modelo matemático e simulações em computador. Donald A. Redelmeyer, da Universidade de Toronto, e Robert J. Tibshirani, da Universidade de Stanford, publicaram um curto artigo sobre o assunto na ‘Nature’. Posteriormente, publicaram na revista ‘Chance’ um estudo mais completo. As suas conclusões são surpreendentes. A ilusão de a outra faixa andar mais depressa baseia-se em vários factores objectivos. A subjectividade é apenas parte do problema.

Numa fila compacta de trânsito, o comportamento das viaturas nunca é perfeitamente homogéneo. Há sempre umas que andam com velocidade mais inconstante, umas que arrancam mais depressa e outras mais devagar, uns condutores que hesitam e outros que se enervam. A complicar as coisas, a separação entre as viaturas é uma função (não linear) da sua velocidade. Quanto maior esta é, tanto maior tem de ser a distância entre as viaturas. O resultado é que uma fila de carros, a partir de um dado volume de trânsito, anda aos solavancos, pára e arranca, mesmo que não haja semáforos ou cruzamentos a impedirem o caminho. Quando a fila arranca, os carros não avançam todos ao mesmo tempo.

Cortesia de havidaemmarta

Cada viatura só arranca depois da que está à sua frente. Quando a fila pára passa-se o mesmo, parando primeiro os carros da frente e depois os de trás. Por isso, uma fila compacta tem um movimento longitudinal oscilatório.

Quando duas ou mais filas avançam lado a lado e cada uma delas oscila, em movimentos de pára-arranca, há momentos em que cada carro é ultrapassado pelos da fila do lado e momentos em que se passa o contrário, em que é este que os ultrapassa. O objectivo do estudo dos estatísticos Redelmeyer e Tibshirani foi comparar esses momentos. Para o efeito, simularam em computador duas filas com movimentos semelhantes aos das verdadeiras filas de viaturas, mas não permitiram que as viaturas mudassem de faixa.

Esta simulação não é fácil e é preciso introduzir a aleatoriedade inerente a cada viatura. Nos estudos habituais de tráfego não se entra em consideração com esses parâmetros individuais, pois apenas interessa o seu fluxo global. Daí que o estudo destes dois estatísticos seja inovador.

Pondo a simulação a correr em computador Redelmeyer e Tibshirani concentraram-se em viaturas individuais aleatoriamente escolhidas para referência e compararam dois tempos: o tempo médio que uma viatura passava a ultrapassar as outras e o tempo médio em que estava a ser ultrapassada. Aqui começaram as surpresas.

Enquanto a densidade do trânsito é pequena e os carros fluem sem problemas, o modelo dá um equilíbrio entre o movimento das filas. Cada viatura é ultrapassada, em média, mais ou menos tanto tempo como o que leva a ultrapassar as da faixa do lado, há um equilíbrio de longo prazo.

Quando a densidade de trânsito aumenta, contudo, começa a haver um desfasamento entre as passagens e as ultrapassagens, cada veículo passa mais tempo a ser ultrapassado do que a ultrapassar. Apesar disso, todos os veículos demoram o mesmo tempo médio a fazer um dado percurso.

O facto é surpreendente. Como podemos passar mais tempo a ser ultrapassados pelas viaturas da outra faixa do que a ultrapassá-las e, mesmo assim, demorar todos o mesmo tempo médio a fazer o percurso?

NOTA: duas filas de trânsito paralelas podem mover-se à mesma velocidade média e, mesmo assim, cada carro passar mais tempo a ser ultrapassado do que a ultrapassar os outros. É o que mostra neste exemplo de duas filas de trânsito paralelas, em movimentos desfasados de ‘pára-arranca’. No exemplo, nenhuma viatura muda de fila. Cortesia de Sofia Rosa.

Cortesia de aterceiranoite

A explicação é simples, embora seja difícil de visualizar. Quando ultrapassamos os carros de outra fila, isso acontece porque esses estão parados ou a andar mais devagar. Nessas alturas estão mais compactados, com menos espaço entre cada viatura, pelo que rapidamente ultrapassamos muitos carros. Suponhamos que num minuto ultrapassamos 50.

Quando somos nós que estamos a ser ultrapassados, pelo contrário, são as viaturas da faixa que nos passa que conduzem a uma velocidade mais elevada, e que por isso estão mais espalhadas. Para que igual número de viaturas, as tais 50, nos ultrapasse, é necessário mais tempo, possivelmente, dois minutos. Por esta razão, cada viatura passa mais tempo a ser ultrapassada do que a ultrapassar as outras, para, afinal, chegarem todas ao mesmo tempo. Mudar de faixa é arriscado e não costuma valer a pena». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Temas de Matemática, 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de Gradiva/JDACT

Nuno Crato: A Matemática das Coisas. «… esteja tão admiravelmente adaptada aos objectos da realidade? Será pois que a razão humana é capaz de captar as propriedades das coisas reais sem se basear na experiência e meramente pelo pensamento puro?»

Cortesia de theflowersgaleon

O poder da matemâtica

«Como é possível que a matemática, interrogava-se Einstein, «que é afinal um produto do pensamento humano independente da experiência, esteja tão admiravelmente adaptada aos objectos da realidade? Será pois que a razão humana é capaz de captar as propriedades das coisas reais sem se basear na experiência e meramente pelo pensamento puro?»

A questão não é simples nem ingénua. No dizer do grande físico, que expôs a sua perspectiva na alocução "Geometria e experiência”, de 1921, «trata-se de um enigma que sempre agitou as mentes inquiridoras». Um enigma cuja resposta tem dividido os matemáticos e os filósofos. Enquanto uns vêem a aplicabilidade da matemática como o produto natural das raízes que esta teria na experiência, outros vêem o seu sucesso como a necessária correspondência do mundo real com as leis da lógica em que a matemática se baseia. Einstein relativizava as coisas, numa perspectiva que tem o apoio de muitos matemáticos, cientistas e filósofos. «Na medida em que as proposições da matemática se reportam à realidade», dizia, «elas não estão certas; e na medida em que estão certas, não se referem à realidade».

Segundo Einstein, a matemática moderna, assente numa dedução lógico-formal com base em axiomas, conseguiu separar o seu aspecto lógico-formal do seu conteúdo objectivo e intuitivo. A correspondência das conclusões matemáticas com a realidade física é apenas aproximada e deriva da possível aproximação dos axiomas a leis básicas da natureza.

Cortesia de taett

Ian Stewart, um prolífico matemático inglês que também se dedica, e com grande sucesso, à divulgação, tem uma resposta para estas questões. No seu livro “Os Números da Natureza”, publicado em Portugal com a chancela da Temas e Debates, reconhece que .«há várias teorias explicativas» para a utilidade da matemática, «que vão desde a estrutura da mente humana à ideia de que o universo é, de alguma forma, composto de pequenos pedaços de matemática». Mas a sua resposta «é bastante simples: a matemática ê a ciência dos padrões e a natureza explora praticamente todos os padrões que existem».

No livro, Stewart procura mostrar como a investigação matemática de padrões pode explicar muitos fenómenos encontrados na natureza. Retoma, por exemplo, a velha questão da forma espiral das cascas de caracóis, búzios e outros animais semelhantes, já abordada no princípio do século pelo zoólogo escocês D'Arcy Thompson, no livro “On Growth and Form (Sobre o Crescimento e a Forma)”, um clássico escrito em 1917 e ainda hoje à venda.

A estrutura espiral das cascas desses animais pode ser explicada através da geometria. Se aceitarmos que a casca se desenvolve à medida que o animal cresce, que se desenvolve sempre de maneira semelhante, e que a largura do tubo da casca que está a ser construída depende do tamanho do animal nesse momento, então é natural que os anéis que se desenvolvem desenhem as espirais que encontramos na natureza. A relação entre a largura dos anéis e a dimensão do animal quando este os está a construir origina diferentes tipos de espirais, que podem ser descritas com fórmulas matemáticas bem determinadas.

O exemplo permite regressar ao argumento de Einstein. As espirais geométricas perfeitas dadas pelas funções matemáticas não se encontram na natureza. E as que se encontram na natureza não são perfeitas. Como por vezes se diz, pontos, rectas e triângulos perfeitos não existem fora da nossa mente, mas raciocinar com precisão sobre esses objectos perfeitos ajuda-nos a tirar conclusões sobre os pontos, rectas e triângulos imperfeitos e aproximados que existem na natureza.

Cortesia de aureowebgarden

Outro exemplo interessante de padrão matemático encontrado no mundo vivo é a organização de pétalas e de flósculos, as pequenas flores rudimentares que se encontram bem visíveis no centro de algumas flores, nomeadamente dos girassóis. Em algumas espécies, esses flósculos encontram-se dispostos em famílias de espirais que se interceptam, enroladas em sentidos contrários. Muitas vezes, o número de elementos enrolados num sentido é 34, enquanto o número de elementos enrolados no sentido contrário é 55. Noutros casos, encontram-se os pares 55 e 89, ou ainda 89 e 144.

Tudo isto pode parecer mera curiosidade, mas os matemáticos encontram nestes números termos consecutivos da sucessão:

• 1, 1, 2, 3, 5, ..., 34, 55, 89, 144, 233, ..., uma sucessão numérica construída em 1202 por Leonardo de Pisa (1170-1250), também chamado Fibonacci, na discussão de um problema em que falava do crescimento das populações de coelhos. Nesta sucessão, todos os termos a partir do segundo se obtêm como a soma dos dois anteriores (2=1+1, 3=1+2, 5=3+2, etc.).

Porque se encontram estes números, criados para responder a um problema tão diferente, nos elementos das flores? Um biólogo pode ser tentado a dizer que são números que se encontram nos genes das plantas, mas um matemático procura outras razões. Os genes determinam como o ser se desenvolve, mas ele desenvolve-se num mundo físico e geométrico onde existem restrições. Os matemáticos conseguiram mostrar que os elementos que se desenvolvam em torno de um centro e que o façam de forma a ocupar uma superfície da forma mais compacta possível, o fazem de acordo com um ângulo de divergência preciso, o dito ângulo dourado (aproximadamente 137,5º). Ora os elementos que se desenvolvam separados sempre por esse ângulo tendem a formar espirais onde aparecem os números de Fibonacci. Não espanta pois que esse ângulo e esses números se encontrem com grande regularidade nos elementos das flores, tanto em pétalas como em flósculos.

A matemática consegue explicar a regularidade geométrica e numérica a partir de princípios de crescimento muito simples, que podem ser determinados pelos genes. Mas o mundo vivo não precisa de ter todas as regras matemáticas escritas no seu código. Elas surgem naturalmente, a partir de regras de crescimento mais simples. Os padrões matemáticos são afinal padrões necessários da natureza. Será isso que explica que a matemática esteja «tão admiravelmente adaptada aos objectos da realidade?». In Nuno Crato, A Matemática das Coisas, Gradiva, Sociedade Portuguesa de Matemática, Abril 2008, ISBN 978-989-616-241-2.

Cortesia de Gradiva/JDACT