quinta-feira, 30 de janeiro de 2014

O Número de Ouro na Arte Arquitectura e Natureza. Joseane V. Ferrer. «Teria sido Hípaso, o principal responsável por profundas mudanças no pensamento filosófico da escola pitagórica em meados do século V a.C., de que tudo no universo podia ser reduzido somente a números comensuráveis…»

Cortesia de wikipedia 

«O homem pôde compreender a harmonia existente na natureza após séculos de observação e teorização. A descoberta do número de ouro começou com Hípaso, membro da escola pitagórica, que estudou sobre a incomensurabilidade no triângulo rectângulo isósceles. Tomando como objecto de análise o pentágono regular, a questão da incomensurabilidade foi esmiuçada uma vez mais. A investigação acerca da razão áurea ganhou sua forma mais conhecida com a seqüência de Fibonacci. E assim, descoberta e devidamente teorizada, foi usada pelo homem no intuito de conferir às suas obras a beleza e perfeição que encontrava na natureza. Podemos notar isso nas obras de mestres da arquitectura, como Phídeas e Le Corbusier, e de mestres da pintura, como Leonardo da Vinci».  

Beleza e harmonia
«Através de seu alto poder de observação, o homem indaga-se e procura explicações que justifiquem a regularidade do meio em que vive. Partindo de tal prerrogativa, podemos perceber que uma de suas muitas curiosidades diz respeito ao convívio com beleza e harmonia, seja esta física ou do universo no qual está inserido. As buscas incessantes do porquê do ser homem e da infinidade de elementos existentes na natureza e de estes serem tão harmónicos, podem ser obtidos através de ordem e relações entre números e combinações, na tentativa de explicar a perfeição existente entre os mesmos. Neste contexto, o número de ouro, indicado pela letra grega Φ em homenagem ao escultor e arquitecto grego Phídeas (470 - 425 a.C.) através da razão áurea, é factor determinante no que concerne esta questão. Portanto, este artigo tem o intuito de apresentar informações úteis pertinentes ao referido objecto de estudo, pois mostra o quanto arte, arquitectura e natureza podem estar relacionadas ao número áureo tornando agradável aos olhos de qualquer ser humano a harmonia e beleza das formas que o rodeiam, não esquecendo, porém, de todo rigor matemático utilizado. As palavras de Biembengut e Hein (2000) expressam bem o exposto acima: É dito que onde houver harmonia lá encontraremos o número de ouro. Este número Φ é indicado como a máxima expressão do equilíbrio. Quando procuramos atentamente, podemos encontrá-lo em toda a parte.  
 
Hípaso Metaponto e a descoberta da incomensurabilidade
É atribuída ao matemático grego Hipasus Metapontum ou Hípaso Metaponto (470 - 400 a.C.) nascido na cidade grega de Metaponto sul da Itália, a descoberta de grandezas incomensuráveis (não-racionais). Teria sido Hípaso, o principal responsável por profundas mudanças no pensamento filosófico da escola pitagórica em meados do século V a.C., de que tudo no universo podia ser reduzido somente a números comensuráveis (racionais) ou suas razões, pois o mesmo produziu um elemento não inteiro que negava os ensinamentos adquiridos nos cultos secretos onde era discípulo do mestre Pitágoras Samos (570 - 495 a.C.). Não se sabe ao certo como Hípaso Metaponto observou os irracionais pela primeira vez, mas, é bastante provável que os primeiros incomensuráveis conhecidos por ele, venham de demonstrações precisas sobre o valor da diagonal de um quadrado de lado unitário ou, do valor da base de um triângulo isósceles rectângulo de lado também unitário ou ainda, da razão entre diagonal e lado de um pentágono regular. Veremos como tais demonstrações ocorreram, supondo que a percepção dos não-racionais veio com a aplicação do teorema de Pitágoras, já bastante conhecido entre os membros da escola pitagórica àquela época, sendo somente válido ao quadrado e triângulo rectângulo isósceles, o que não ocorre com o pentágono regular. 

Incomensurabilidade no triângulo isósceles rectângulo
Para que fosse provada a questão da incomensurabilidade no triângulo isósceles rectângulo, Hípaso provou que não há nenhum número comensurável ao qual corresponda um ponto C da recta, no caso em que o segmento AC seja igual à base (diagonal) do referido triângulo com lados unitários. Observe:
 
Representação na recta numérica de um triângulo rectângulo isósceles de lado unitário 

Pelo teorema de Pitágoras com catetos de medida unitária e hipotenusa d (diagonal = base) do triângulo, temos:

 
Onde admitimos somente o valor positivo de d, uma vez que se trata de medida de comprimento.



A Questão da incomensurabilidade no pentágono regular
A estrela de cinco pontas inscrita em um pentágono regular, a partir dos vértices deste, era considerada o símbolo mais importante entre os membros da escola pitagórica. O numeral cinco representava o casamento, pois nele estava representada a junção do número feminino par (dois) com o número masculino ímpar (três), motivo pelo qual, para muitos historiadores, teria levado Hípaso a verificar com toda cautela as propriedades matemáticas existentes desse polígono. Admitindo-se que Pitágoras e seus discípulos já soubessem fazer a divisão entre segmentos de rectas, então, quando traçadas as cinco diagonais do primeiro pentágono regular, estas formam um segundo pentágono regular, este sendo menor que o primeiro. Repetindo-se o processo neste segundo pentágono, obteremos o mesmo resultado, e assim por diante, infinitamente, o que nos deixa claro que a divisão (razão) entre diagonal e lado em qualquer pentágono regular é um número não-comensurável.  

 
Pentágonos regulares inscritos, obtidos a partir do tracejar das suas diagonais não-consecutivas. 

Em mãos da propriedade de que as diagonais de um pentágono regular dividem umas às outras em segmentos de média e extrema razão, Hípaso concluiu que o quociente entre as medidas do segmento todo pela maior parte é igual ao quociente entre as medidas dessa parte maior com a parte menor». In Joseane Vieira Ferrer, O Número de Ouro na Arte Arquitectura e Natureza, Beleza e Harmonia, Universidade de Brasília, Brasil, Wikipédia.
 

Cortesia da UBrasília/JDACT